Глибина (теорія кілець)

В комутативній алгебрі глибиною модуля називається одна з важливих характеристик модуля над комутативним кільцем. Особливо важливим є випадок модулів над локальними нетеровими кільцями. Поняття вперше було введено Осландером і Бухсбаумом у 1956 році

Означення

Нехай $R$ — комутативне кільце Нетер і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Послідовність елементів $a_1,\dots ,a_k\in R$, називається M-регулярною, якщо для всіх $1⩽i⩽k$ елемент $a_i$ не є дільником нуля в модулі

$M/(a_1,\dots ,a_{i-1})M,$

тобто з того, що $a_{i}x=0$, де $x$ — деякий елемент вказаного модуля, випливає, що $x=0$.

I-глибина модуля $M$ дорівнює довжині найбільшої М-регулярної послідовності, складеної з елементів ідеала $I$. У випадку локального кільця $R$ за $I$ приймають зазвичай максимальний ідеал і тоді використовується термін глибина модуля $M$.

Еквівалентно I-глибиною модуля $M$ називається найменше ціле число $n$, для якого ${\mathrm{Ext}}^n(R/I,M)\ne 0.$

Для позначення глибини модуля використовують ${\mathrm{depth}}_I(M)$ або ${\mathrm{prof}}_I(M)$.

Властивості

• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $𝔪$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді правильною є нерівність

$\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)⩽\dim (M),$

де в правій частині є розмірність Круля для модуля, що за означенням рівна ${\dim }_{R}M:=\dim (R/{\mathrm{Ann}}_R(M))$. Кільця для яких глибина рівна розмірності Круля називаються кільцями Коена — Маколея.

• Формула Аусландера — Бухсбаума. Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $𝔪$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо проективна розмірність модуля $M$ є скінченною, то виконується рівність

${\mathrm{p}\mathrm{d}}_R(M)+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(R).$

• Справедливою є наступна формула:

${\mathrm{depth}}_I(M)=\underset{𝔭\supset I}{\inf }{\mathrm{depth}}_I(M_{𝔭})$

де $𝔭$ позначає простий ідеал кільця $R$, а $M_{𝔭}$ розглядається як модуль над локальним кільцем $R_{𝔭}$.

• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $𝔪$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Тоді $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)=0$ якщо і тільки якщо $𝔪$ є асоційованим простим ідеалом модуля $R.$
• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $𝔪$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Нехай елемент $a\in 𝔪$ не є дільником нуля для модуля $M.$ Тоді $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M/aM)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)-1.$
• Нехай $R$ — комутативне локальне кільце Нетер з максимальним ідеалом $𝔪$ і $M$ — скінченнопороджений R-модуль. Якщо $\hat{R},\hat{M}$ — поповнення відповідно кільця і модуля по $𝔪$-адичній фільтрації, то $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(M)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}(\hat{M})$.
• Твердження ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)⩾n$ рівнозначно тому, що модулі локальних когомологій $H_i^I(M)$ дорівнюють нулю при $i<n$.
• Нехай $0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ — точна послідовність скінченнопороджених модулів над комутативним нетеровим кільцем і $I$ — ідеал кільця, для якого $I{M}^{\prime }\ne M^{\prime }IM\ne MI{M}^{″}\ne M^{″}$. Тоді:

Якщо ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)<{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{″})$ то ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{\prime })={\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$.

Якщо ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)>{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{″})$ то ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{\prime })=1+{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$.

Якщо ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)={\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{″})$ то ${\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M^{\prime })>{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{p}\mathrm{t}\mathrm{h}}_I(M)$.

Див. також

• Довжина модуля
• Розмірність Круля

Джерела

• Шаблон:Citation
• Winfried Bruns; Jürgen Herzog, Cohen–Macaulay rings. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
• Шаблон:Cite book