Асоційований простий ідеал

В теорії кілець, асоційованим простим ідеалом модуля M над кільцем R називається простий ідеал кільця R, що є анулятором деякого підмодуля M. Особливо важливими ці ідеали є у комутативній алгебрі де вони пов'язані з так званим примарним розкладом ідеалів нетерових кілець, що, зокрема, має застосування в алгебричній геометрії.

Означення

Комутативні кільця

Нехай $R$ — комутативне асоціативне кільце з одиницею, і $M$ — модуль над $R$.

Простий ідеал $𝔭\subset R$ називається асоційованим з $M$, якщо існує такий елемент $x\in M$, що $𝔭={\text{Ann}}_R(\{x\})=\{r\in R|rx=0\}$.

Еквівалентно, $𝔭$ є асоційованим з $M$, якщо існує ін'єктивний R-гомоморфізм між модулями $R/𝔭$ і $M$. Дійсно, якщо $𝔭={\text{Ann}}_R(\{x\})$, то $R/𝔭$є як R-модуль є ізоморфним із $Rx.$Навпаки, якщо існує такий гомоморфізм f, то $𝔭={\text{Ann}}_R(\{f(\overline{1})\}),$ де $\overline{1}$ позначає одиничний елемент у $R/𝔭.$

Множина простих ідеалів, асоційованих з модулем $M$ позначається ${\text{Ass}}_R(M)$.

Мінімальні елементи в ${\mathrm{Ass}}_R(M)$ (щодо включення множин) у комутативному кільці R, називаються ізольованими простими ідеалами. Усі інші асоційовані прості ідеали називаються вкладеними простими ідеалами.

Модуль $M$ називається копримарним якщо з того що rm = 0 ( r є дільником нуля модуля $M$) для деякого ненульового $m\in M$ випливає що rⁿM = 0 для деякого натурального числа n.

Ненульовий скінченнопороджений модуль M над комутативним нетеровим кільцем є копримарним тоді і тільки тоді коли для нього існує один асоційований простий ідеал.

Дійсно, як показано нижче, у цьому випадку множина асоційованих простих ідеалів є непустою. Нехай $𝔭={\text{Ann}}_R(\{x\})$ є простим ідеалом. Тоді для кожного дільника нуля r виконується rⁿM = 0 і тому rⁿx = 0. Тобто $r^n\in 𝔭$ і внаслідок простоти ідеалу, $r\in 𝔭.$ Тобто всі дільники нуля належать $𝔭$ і внаслідок властивості нижче про те, що множина дільників нуля є об'єднанням елементів асоційованих простих ідеалів $𝔭$ є єдиним таким ідеалом.

Навпаки, якщо існує єдиний асоційований простий ідеал $𝔭$то з тої ж властивості випливає, що його елементами є всі дільники нуля і тільки вони. З властивості нижче випливає також, що $\sqrt{\mathrm{ann}(M)}=𝔭,$що є еквівалентним твердженню.

Підмодуль N у M називається $𝔭$-примарним якщо $M/N$ є копримарним із асоційованим простим ідеалом $𝔭$.

Ідеал I є $𝔭$-примарним ідеалом тоді і тільки тоді коли${\mathrm{Ass}}_R(R/I)=\{𝔭\}$.

Некомутативні кільця

Ненульовий R-модуль $N$ називається простим модулем якщо ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N)={\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N^{\prime })$ для довільного підмодуля $N^{\prime }$ модуля $N$ . Для простого модуля $N$, ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N)$ є простим ідеалом в $R$.Шаблон:Sfn

Ідеал кільця $R$ називається асоційованим простим ідеалом для R-модуля $M$, якщо він рівний ${\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}}_R(N)$ для деякого простого підмодуля $N$ у модулі $M$ .

Властивості

• Навіть для комутативних локальних кілець, множина асоційованих простих ідеалів скінченнопородженого модуля може бути пустою. Проте в будь-якому кільці, що задовольняє умову обриву зростаючого ланцюга ідеалів (зокрема правому чи лівому нетеровому кільці) довільний ненульовий модуль має хоча б один асоційований простий ідеал.
• Для одностороннього нетерового кільця, існує сюр'єкція з множини класів ізоморфізмів нерозкладних ін'єктивних модулів на спектр $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}(R)$. Якщо R є кільцем Артіна, то це відображення є бієкцією.
• Теорема Матліма: Для комутативного нетерового кільця $R$, відображення у попередньому пункті завжди є бієкцією.
• Для будь-якого простого ідеала $𝔭$ комутативного кільця $R$ і будь-якого нетривіального підмодуля $M$ модуля $R/𝔭$ має місце рівність ${\text{Ass}}_R(M)=\{𝔭\}$.

Нехай $0\ne \bar{x}\in M$, тобто $\bar{x}=x+𝔭$ — суміжний клас за ідеалом $𝔭$, $x\in ̸𝔭$. Очевидно, що $𝔭\bar{x}=0$.

Припустимо, що $r\bar{x}=0$. Це означає, що $rx\in 𝔭$. Тоді з простоти $𝔭$ випливає, що $r\in 𝔭$. Таким чином, єдиний простий ідеал, асоційований з $M$ — це ідеал $𝔭$.

• Для нетерового модуля M над будь-яким кільцем, існує лише скінченна кількість асоційованих простих ідеалів для M.

Нетерові комутативні кільця

Всюди нижче кільце $R$ є комутативним і нетеровим:

• Розглянемо множину ідеалів $I\subset R$, для яких $I={\text{Ann}}_R(\{x\})$ для деякого $x\in M$ для модуля $M$ над $R$. Тоді максимальні елементи цієї множини є простими ідеалами. Оскільки для ненульового модуля ця множина не є пустою (довільний елемент має свій анулятор, що може бути і нульовим ідеалом) то звідти для кожного такого модуля існує асоційований простий ідеал.

Припустимо, що такий ідеал $I={\text{Ann}}_R(\{x\})$ є максимальним у цій множині але не простим. Тоді існують елементи $a,b\in R$, для яких $ab\in I$ але $a,b\in ̸I$ . Оскільки $b\in ̸I,bx\ne 0$. Але $abx=0$. Тому, $a\in {\text{Ann}}_R(bx)$ і $a\in ̸I$ . Тобто ${\text{Ann}}_R(bx)$ є строго більшим від $I$, що суперечить максимальності останнього у заданій множині.

• Кожен ідеал J є рівний перетину скінченної кількості примарних ідеалів. Запис ідеала як перетину примарних ідеалів називається примарним розкладом ідеала. Множина радикалів цих ідеалів є рівною ${\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}}_R(R/J)$. Зокрема, ідеал J є примарним ідеалом тоді і тільки тоді, коли множина ${\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}}_R(R/J)$ складається з одного елемента.
• Довільний мінімальний простий ідеал для ідеала J є елементом множини ${\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}}_R(R/J)$. Множина цих ідеалів є множиною ізольованих простих ідеалів.
• Множина $\bigcup _{𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)}𝔭$ рівна множині елементів $\{r\in R|\mathrm{\exists }0\ne m\in M:rm=0\}$ (такі елементи називають дільниками нуля $M$).

З означення очевидно, що кожен елемент довільного асоційованого простого ідеала, а тому і їх об'єднання є дільником нуля $M$. Навпаки, якщо $r\in R,m\in M$ елементи для яких $rm=0$ то $(r)\subset \text{Ann}(m)$. Але $\text{Ann}(m)$ є підмножиною деякого максимального анулятора елемента модуля і цей ідеал є простим. Тобто $r$ належить деякому асоційованому простому ідеалу.

• Нехай S мультиплікативна система кільця $R$ і $𝔭\in \mathrm{Spec}(R),𝔭\cap S=\mathrm{\varnothing }$. Ідеал $𝔭$ є асоційованим для модуля M над R, тоді і тільки тоді коли простий ідеал $S^{-1}𝔭$ у локалізації кільця $S^{-1}R$ є асоційованим для модуля $S^{-1}M$.

  Якщо $𝔭\in {\text{Ass}}_R(M)$ то $𝔭={\text{Ann}}_R(x)$ для деякого $x\in M$. Тоді $S^{-1}𝔭={\text{Ann}}_{S^{-1}R}(x/1)$.

  Навпаки припустимо $S^{-1}𝔭={\text{Ann}}_{S^{-1}R}(x/s)$ для деяких $x\in M,s\in S$. Нехай $𝔞={\text{Ann}}_R(x)$. Тоді $S^{-1}𝔞=S^{-1}𝔭$, звідки випливає, що $𝔞\subset 𝔭$ і оскільки кільце є нетеровим, а тому всі ідеали скінченнопородженими, то існує також $s^{\prime }\in S,$ такий що $s^{\prime }𝔭\subset 𝔞$. Тоді $𝔭={\text{Ann}}_R(s^{\prime }x)$.

• Якщо $M$ є скінченнопородженим модулем над $R$, тоді існує скінченна послідовність підмодулів

$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_n=M$

для якої усі фактор-модулі $M_{i+1}/M_i$ є ізоморфними фактор-кільцям $R/{𝔭}_i$ для деяких простих ідеалів ${𝔭}_i$. До того ж для цих ідеалів справедливими є включення:

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)\subset \{{𝔭}_0,\dots ,{𝔭}_{n-1}\}\subset \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)$

де за означенням носій модуля $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)=\{𝔭\in \mathrm{Spec}(R)|M_{𝔭}\ne 0\}$. Окрім того мінімальні елементи в усіх трьох множинах є однаковими.

Оскільки для ненульового модуля існує асоційований простий ідеал ${𝔭}_0$ то у цьому випадку існує підмодуль $M_1\subset M$ ізоморфний $R/{𝔭}_0$. Далі якщо модуль $M/M_1$ не є нульовим то для нього можна використати ті самі аргументи і отримати модуль $M_1\subset M_2\subset M$, такий що $M_2/M_1$ є ізоморфним $R/{𝔭}_1$ для якогось простого ідеала ${𝔭}_1$ (що буде простим асоційованим для модуля $M/M_1$). Продовжуючи по індукції отримуємо зростаючу послідовність модулів, що задовольняють умови теореми. Оскільки модуль є нетеровим то цей процес завершиться за скінченну кількість кроків. Це можливо лише коли останній підмодуль у послідовності рівний $M$.

Нехай тепер $𝔭\in \mathrm{Spec}(R)$. Тоді $M_{𝔭}\ne 0$ тоді і тільки тоді коли для якогось ${𝔭}_i$ локалізація $(R/{𝔭}_i{)}_{𝔭}\ne 0$, тобто якщо $𝔭$ містить один із ідеалів ${𝔭}_i$. Звідси усі ${𝔭}_i\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)$ і мінімальні елементи обох множин є однаковими.

Нехай тепер $𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$. Тоді модуль $M$ містить підмодуль $N$ ізоморфний до $R/𝔭$. Нехай i — найменший індекс для якого $M_{i+1}\cap N\ne \mathrm{\varnothing }$ . Тоді$(M_{i+1}\cap N)/M_i$ можна розглядати як ненульовий підмодуль модулів $M_{i+1}/M_i\cong R/{𝔭}_i$ і $N\cong R/𝔭$. Але із попередніх властивостей у цьому випадку ${\text{Ass}}_R((M_{i+1}\cap N)/M_i)=\{{𝔭}_i\}$ і водночас ${\text{Ass}}_R((M_{i+1}\cap N)/M_i)=\{𝔭\}.$ Тому $𝔭={𝔭}_i$ звідки $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)\subset \{{𝔭}_0,\dots ,{𝔭}_{n-1}\}$.

Якщо $𝔭$ є мінімальним елементом $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)$, то $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M_{𝔭})$ відповідної локалізації містить єдиний елемент $𝔭R_{𝔭}$. Оскільки $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M_{𝔭})$ є непустою і міститься в $\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M_{𝔭})$ то $𝔭R_{𝔭}\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M_{𝔭})$ і з властивостей для асоційованих простих ідеалів для локалізації $𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$.

• Модуль $M$ над $R$ має скінченну довжину тоді і тільки тоді, коли $M$ є скінченнопородженим і елементами $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$ є лише максимальні ідеали.
• Якщо $U$ є підмодулем $M$ то $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(U)\subset \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)\subset \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(U)\cup \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M/U)$.
• Для скінченнопородженого модуля $M$

$\sqrt{\mathrm{ann}(M)}=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)}𝔭=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)}𝔭$

Якщо $r\in \mathrm{ann}(M),$ то очевидно $r\in 𝔭,$ для кожного $𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M).$ Отже звідси для кожного такого ідеалу $\mathrm{ann}(M)\subset 𝔭$ і зважаючи на простоту також $\sqrt{\mathrm{ann}(M)}\subset 𝔭.$

В іншу сторону, із попередніх властивостей існує скінченна послідовність підмодулів $0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_{n-1}\subset M_n=M$ для якої усі фактор-модулі $M_{i+1}/M_i$ є ізоморфними $R/{𝔭}_i.$ До того ж множина мінімальних елементів у $\{{𝔭}_i\}$ є рівною множині мінімальних елементів $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M).$ Тож якщо $r\in \bigcap _{𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)}𝔭$ то також $r\in {𝔭}_i$ для всіх i і тому $r{M}_i\subset M_{i-1}.$ Зокрема $r^{n}M=0.$

Два попередні абзаци разом доводять, що $\sqrt{\mathrm{ann}(M)}=\bigcap _{𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)}𝔭.$ Твердження для носія модуля випливає з того, що множина мінімальних елементів носія є рівною множині ізольованих простих іідеалів.

Приклади

• Якщо $R=ℂ[x,y,z,w]$ то асоційованими простими ідеалами для $I=((x^2+y^2+z^2+w^2)\cdot (z^3-w^3-3x^3))$ є ідеали $(x^2+y^2+z^2+w^2)$ і $(z^3-w^3-3x^3)$.
• Нехай $R=ℂ[X_1,\dots ,X_n]$ кільце многочленів, $𝔭$ — ідеал в $R$, $V$ — афінний многовид заданий цим ідеалом, $V_1,\dots ,V_p$ — незвідні компоненти $V$. Покладемо $M=R/𝔭$ — афінне координатне кільце $V$, тоді прості ідеали, асоційовані з модулем $M$ це ідеали незвідних компонент $V_1,\dots ,V_p$.
• Якщо $R$ є кільцем цілих чисел, тоді нетривіальні вільні абелеві групи і нетривіальні абелеві групи порядок яких є степенем простого числа є копримарними.
• Якщо $R$ є кільцем цілих чисел і M — скінченною абелевою групою, тоді асоційованими простими ідеалами $M$ є ідеали породжені простими числами, що ділять порядок групи $M$.
• Приклад не нетерового комутативного кільця і модуля, що не має асоційованих простих ідеалів. Нехай $R=ℂ[x_1,x_2,...]$ — кільце многочленів над полем комплексних чисел від нескінченної кількості змінних і ідеал $I=(x_1,x_2^2,x_3^3,...)\subset R$ .  Тоді $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(R/I)=\mathrm{\varnothing }$ . Справді, припустимо простий ідеал $𝔭$ є анулятором деякого елемента $\overline{f}\in R/I$. Виберемо довільного представника цього елемента $f\in R$; тоді $𝔭$ є множиною тих $g\in R$ для яких $fg\in I$.  Проте $f$ є многочленом лише від скінченної підмножини змінних $x_i$ , нехай $x_1,...,x_n$ .  Очевидно що $x_{n+1}^{n+1}f\in I$ (тобто $x_{n+1}^{n+1}\in 𝔭$ ), але $x_{n+1}f\in ̸I$ (тому $x_{n+1}\in ̸𝔭$ ). Звідси $𝔭$ не є простим ідеалом.

Див. також

• Мінімальний простий ідеал
• Модуль над кільцем
• Носій модуля
• Примарний ідеал
• Примарний розклад

Джерела

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.