Плюрісубгармонічна функція

Плюрісубгармнонічна функція — дійснозначна функція $u=u(\overrightarrow{z})$, від $n$ комплексних змінних $\overrightarrow{z}=(z_1,z_2,\dots ,z_n)$ в області $D$ комплексного простору ${ℂ}^n$, $n⩾1$, яка задовольняє таким умовам:

1. $u(z)$ є напівнеперервною зверху усюди в $D$;
2. $u(z_0+\lambda a)$ є субгармонічною функцією змінної $\lambda \in ℂ$ в кожній зв'язаній компоненті відкритої множини $\{\lambda \in ℂ\mid z_0+\lambda a\in D\}$ для будь-яких фіксованих точок $z_0\in D$, $a\in {ℂ}^n$.

Функція $v(z)$ називається плюрісупергармонічною функцією, якщо $-v(z)$ є плюрісубгармнонічною функцією.

Приклади

$\ln |f(z)|$, $|f(z){|}^p$ при $p⩾0$, де $f(z)$ — голоморфна функція в $D$.

Властивості

• Плюрісубгармонічні функції є субгармонічними, але обернене твердження є вірним лише при $n=1.$
• Для того щоб напівнеперервна зверху в області D функція u була плюрісубгармонічною, необхідно і достатньо, щоб для будь-яких фіксованих, $z,a\in {ℂ}^n,|a|=1$ існувало число $ϵ=ϵ(z,a)>0$ таке, що при $0<r<ϵ$ виконується нерівність:

$u(z)⩽\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}u(z+r{\mathrm{e}}^{i\theta }a)d\theta ,$

• Для функцій $u(z),$ що належать класу $C^2(D),$ $u(z)$ є плюрігармонічною в D тоді і тільки тоді, коли ермітова форма:

$H_{z,u}(a,\overline{a})=\sum _{k,l=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z_k\partial {\overline{z}}_l}{a}_k{\overline{a}}_l$

є невід'ємно означеною для всіх $z\in D.$

Крім загальних властивостей субгармонічних функцій, для плюрісубгармонічних функцій справедливі наступні:

• $u(z)$ є плюрісубгармонічною функцією в області $D$ тоді і тільки тоді, коли $u(z)$ — плюрісубгармонічна функція в околі кожної точки $z\in D$;
• Лінійна комбінація плюрісубгармонічних функцій з додатними коефіцієнтами є плюрісубгармонічною функцією;
• Границі рівномірно збіжної і монотонно спадної послідовностей плюрісубгармонічних функцій є плюрісубгармонічними;
• Для будь-якої точки $z_0\in D$ середнє значення

$\underset{S_r(z_0)}{\oint }u$

по сфері радіуса $r$, є зростаючою функцією по $r$, опуклою щодо $\ln r$ на відрізку $0<r<R$, якщо куля $B_R(z_0)$ повністю розміщена в $D$;

• При голоморфних відображеннях плюрісубгармонічна функція переходить в плюрісубгармонічну;
• Якщо $u(z)$ — неперервна плюрісубгармонічна функція в області $D$, $E$ — замкнута зв'язана аналітична підмножина $D$ і звуження $u{|}_E$ досягає максимуму на $E$, то $u(z)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ на $E$;
• Функція $u(z)$ є плюрісубгармонічною в області D, тоді і тільки тоді, коли вона є границею спадної послідовності функцій $\{u_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, де $u_k\in C^{\mathrm{\infty }}$ і для відповідних областей виконуються включення $D_k\subset {\overline{D}}_k\subset D_{k+1}$ і також $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_k=D.$

Див. також

• Плюрігармонічна функція
• Субгармонічна функція

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.