Простір T1

Шаблон:Аксіоми відокремлюваності Простір $T_1$ — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності $T_1$. Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.

Визначення

Топологічний простір $X$ називається простором $T_1$, якщо для будь-яких двох різних точок $x,y\in X$ існує відкрита множина $U\subseteq X$, така що $x\in U$ але $y\notin U$.

Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:

• Простір $X$ є простором $T_1$ тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в $X$ є замкнутою.
• Простір $X$ є простором $T_1$ тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
• Простір $X$ є простором $T_1$ тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
• Простір $X$ є простором $T_1$ тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
• Простір $X$ є простором $T_1$ тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки $x\in X\setminus S$, x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.

Приклади і властивості

• Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами $T_1$ і простори, що не є $T_1$ вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів $T_1$ є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором $T_1$; навпаки, кожен скінченний простір $T_1$ є дискретним.
• Кожен гаусдорфів простір є простором $T_1$.
• Прикладом простору, що задовольняє аксіому $T_1$, але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також $\mathrm{\varnothing }$ і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
• Кожен простір $T_1$ є простором Т₀ , проте є простори $T_0$, які не є просторами $T_1$. Наприклад, множина $X=\{a,b\}$ з топологією ${\tau }_0=\{\mathrm{\varnothing },X,\{a\}\}$ є простором $T_0$, але не $T_1$. Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором $T_0$ але в загальному випадку не є простором $T_1$.
• Підмножина простору $T_1$ з індукованою топологією є простором $T_1$.
• Декартовий добуток просторів $T_1$ теж є простором $T_1$.

Див. також

• Аксіоми відокремлюваності
• Простір Т0
• Гаусдорфів простір

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 Шаблон:Ref-en