Теорема Фубіні

У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.

Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.

Формулювання

Теорема Фубіні

Нехай $(X,{ℱ}_1,{\mu }_1),(Y,{ℱ}_2,{\mu }_2)$ — два простори з сигма-скінченною мірою, а $(X\times Y,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mu }_1\otimes {\mu }_2)$ — їх добуток мір. Нехай функція $f:X\times Y\to ℝ$ інтегровна щодо міри ${\mu }_1\otimes {\mu }_2$, тобто вимірна і також $\underset{X\times Y}{\int }|f(x,y)|\text{d}(x,y)<\mathrm{\infty }$. Тоді

• функція $x\to \underset{Y}{\int }f(x,y)\text{d}y$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо ${\mu }_1$;
• функція $y\to \underset{X}{\int }f(x,y)\text{d}x$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо ${\mu }_2$;
• і також виконуються рівності

$\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }f(x,y)\text{d}x)\text{d}y=\underset{X\times Y}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y).$

Теорема Тонеллі

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція $f:X\times Y\to [0,+\mathrm{\infty }]$ є вимірною і невід'ємною. Тоді

• функція $x\to \underset{X_2}{\int }f(x,y)\text{d}y$ визначена і інтегровна щодо ${\mu }_1$;
• функція $x\to \underset{X_1}{\int }f(x,y)\text{d}x$ визначена і інтегровна щодо ${\mu }_2$;
• і також виконуються рівності

$\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }f(x,y)\text{d}x)\text{d}y=\underset{X\times Y}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y).$

Теорема Тонеллі — Фубіні

Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція $f:X\times Y\to ℝ$ є вимірною і якийсь з інтегралів

$\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }|f(x,y)|\text{d}y)\text{d}x$

$\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }|f(x,y)|\text{d}x)\text{d}y$

$\underset{X\times Y}{\int }|f(x,y)|\text{d}(x,y)$

є скінченним. Тоді

$\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{Y}{\int }(\underset{X}{\int }f(x,y)\text{d}x)\text{d}y=\underset{X\times Y}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y).$

Формулювання в теорії ймовірностей

В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так. Нехай $({\mathrm{\Omega }}_i,{ℱ}_i,{\mathbb{P}}_i),i=1,2$ — ймовірнісні простори, і $X:{\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\to ℝ$ — випадкова величина на $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2)$. Тоді

${𝔼}_{{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2}[X]={𝔼}_{{\mathbb{P}}_1}[{𝔼}_{{\mathbb{P}}_2}[X]]={𝔼}_{{\mathbb{P}}_2}[{𝔼}_{{\mathbb{P}}_1}[X]],$

де індекс позначає ймовірнісну міру, щодо якої береться математичне очікування.

Доведення теореми Фубіні

Нижче наведено доведення рівності $\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }f(x,y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{X\times Y}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y)$ та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.

Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на $(X\times Y,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mu }_1\otimes {\mu }_2)$. Для множини $E\subset X\times Y$ проста функція ${\mathrm{𝟏}}_E$ задовольняє рівність:

$({\mathrm{𝟏}}_E{)}_x={\mathrm{𝟏}}_{E_x},\mathrm{\forall }x\in X,$

де $E_x=\{y\in Y\mid (x,y)\in E)\}$ — перетин $E$ вздовж $x\in Y$, а для довільної функції g визначеної на $X\times Y$ позначення $(g{)}_x,x\in X$ позначає функцію-переріз визначену на Y, як $(g{)}_x(y)=g(x,y),\mathrm{\forall }y\in Y.$

З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:

$\underset{X\times Y}{\int }{\mathrm{𝟏}}_E\text{d}(x,y)={\mu }_1\otimes {\mu }_2(E)=\underset{X}{\int }{\mu }_2(E_x)\text{d}x=\underset{X}{\int }\left(\underset{Y}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{E_x}\text{d}y\right)\text{d}x.$

Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.

Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного $x\in X$

послідовність $(f_x{)}_n$ є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції $f_x.$ Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X\times Y}{\int }{f}_n(x,y)\text{d}(x,y)=\underset{X\times Y}{\int }f(x,y)\text{d}(x,y)<\mathrm{\infty },$

Також зважаючи, що функції $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ — прості, то з попереднього

$\underset{X\times Y}{\int }{f}_n(x,y)\text{d}(x,y)=\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }(f_x{)}_n(y)\text{d}y)\text{d}x.$

Послідовність функцій $x\to \underset{Y}{\int }(f_x{)}_n(y)\text{d}y$ є неспадною послідовністю невід'ємних ${ℱ}_1$- вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна $\underset{Y}{\int }{f}_x(y)\text{d}y$ і теж є ${ℱ}_1$- вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }(f_x{)}_n(y)\text{d}y)\text{d}x=\underset{X}{\int }(\underset{Y}{\int }{f}_x(y)\text{d}y)\text{d}x,$

яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.

Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як $f=f_{+}-f_{-},$ де $f_{+},f_{-}$ — невід'ємні вимірні функції для яких також $\underset{X\times Y}{\int }{f}_{+}\text{d}(x,y)<\mathrm{\infty }$ і $\underset{X\times Y}{\int }{f}_{-}\text{d}(x,y)<\mathrm{\infty }.$

Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.

Математичний аналіз

Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.

У найпростішому випадку твердження можна подати так. Нехай $f:D=[a,b]\times [c,d]\to ℝ$ — функція двох дійсних змінних, інтегровна за Ріманом на прямокутнику $[a,b]\times [c,d]$, тобто $f\in ℝ(D)$. Тоді

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy]dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx]dy,$

де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.

Доведення

Будь-яке розбиття $\lambda$ множини $[a,b]\times [c,d]$ отримується деякими розбиттями ${\lambda }_x$ відрізка $X=[a,b]$ і ${\lambda }_y$ відрізка $[c,d]$, при цьому площа кожного прямокутника $X_i\times Y_j$ визначається як $V(X_i\times Y_j)=\left|X_i\right|\cdot \left|Y_j\right|$, де $X_i,Y_j$ ? деякі відрізки розбиттів.

Тоді можна дати оцінку для інтеграла

$\underset{X}{\int }dx\left[\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right](*)$

і нижніх і верхніх інтегральних сум функції $ℒ(f,\lambda )$ и $𝒰(f,\lambda )$:
$ℒ(f,\lambda )=\sum _{i,j}\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X_i,y\in Y_j}f(x,y)V(X_i\times Y_j)\le \sum _i\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X_i}(\sum _i\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{y\in Y_j}f(x,y)\left|Y_j\right|)\left|X_i\right|$
$\sum _i\inf \left(\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right)\left|X_i\right|\le \underset{X}{\int }dx\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\le \sum _i\sup \left(\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right)\left|X_i\right|$
$𝒰(f,\lambda )=\sum _{i,j}\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X_i,y\in Y_j}f(x,y)V(X_i\times Y_j)\ge \sum _i\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in X_i}(\sum _i\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{y\in Y_j}f(x,y)\left|Y_j\right|)\left|X_i\right|$
При інтегровності $f$ на $X\times Y$, тобто рівності $\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{\lambda }ℒ(f,\lambda )=\inf {\mathrm{\backslash limits}}_{\lambda }𝒰(f,\lambda )$ інтеграл $(*)$ також існує і має таке ж значення, як і $\underset{X\times Y}{\iint }f(x,y)dxdy.$

Приклади необхідності умов теореми

Функції з нескінченним інтегралом

Розглянемо функцію $$\underset{[0,1{]}^2}{\int }\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\mathrm{d}(x,y).$$ Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу:

$\underset{[0,1{]}^2}{\int }\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\right|\mathrm{d}(x,y)=+\mathrm{\infty }.$

Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x=\frac{\pi }{4}$

але

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y=-\frac{\pi }{4}.$

Добуток не сигма-скінченних мір

Розглянемо добуток двох множин $I=[0,1]$.На першій задамо звичайну міру Лебега $\lambda ,$ а на іншій — лічильну міру $m$ на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною.

Якщо позначити $\mathrm{\Delta }=\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^2$ — діагональ, то характеристична функція 1_Δ є вимірною.

Для повторних інтегралів маємо : $\underset{I}{\int }[\underset{I}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{\mathrm{\Delta }}(x,y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x=\underset{I}{\int }[\underset{I}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{\{x\}}(y)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x=\underset{I}{\int }m(\{x\})\mathrm{d}x=\lambda (I)=1$ і :$\underset{I}{\int }[\underset{I}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{\mathrm{\Delta }}(x,y)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y=\underset{I}{\int }[\underset{I}{\int }{\mathrm{𝟏}}_{\{y\}}(x)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y=\underset{I}{\int }\lambda (\{y\})\mathrm{d}y=\underset{I}{\int }0\mathrm{d}y=0.$

Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.

Див. також

• Добуток мір

Джерела

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation