Добуток мір

Добуток мір — задання міри на декартовому добутку двох множин з мірою. Має широке застосування в теорії міри, теорії ймовірностей і функціональному аналізі.

Побудова

Нехай $(X_i,{ℱ}_i,{\mu }_i),i=1,2$ — два вимірних простори, а $X_1\times X_2$ — декартовий добуток множин $X_1$ і $X_2$.

${ℱ}_1\times {ℱ}_2$ є сім'єю підмножин $X_1\times X_2$. Воно не є сигма-алгеброю. Позначимо

${ℱ}_1\otimes {ℱ}_2=\sigma ({ℱ}_1\times {ℱ}_2)$

мінімальну $\sigma$-алгебру, що містить всі множини з ${ℱ}_1\times {ℱ}_2$. Тоді $(X_1\times X_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2)$ — вимірний простір. Визначимо на ньому міру ${\mu }_1\otimes {\mu }_2:{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2\to ℝ$ як:

${\mu }_1\otimes {\mu }_2(A)={\mu }_1(A_1)\cdot {\mu }_2(A_2),\mathrm{\forall }A=A_1\times A_2\in {ℱ}_1\times {ℱ}_2.$

${\mu }_1\otimes {\mu }_2$ можна продовжити з ${ℱ}_1\times {ℱ}_2$ на ${ℱ}_1\otimes {ℱ}_2$:

${\mu }_1\otimes {\mu }_2(A)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(A_{x_2}){\mu }_2(d{x}_2),A\in {ℱ}_1\otimes {ℱ}_2$

і

${\mu }_1\otimes {\mu }_2(A)=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(A_{x_1}){\mu }_1(d{x}_1),$

де

$A_{x_2}=\{x_1\in X_1\mid (x_1,x_2)\in A)\}$ — перетин $A$ вздовж $x_2\in X_2$, а

$A_{x_1}=\{x_2\in X_2\mid (x_1,x_2)\in A)\}$ — перетин $A$ вздовж $x_1\in X_1$.

Визначена міра ${\mu }_1\otimes {\mu }_2$ називається добутком мір ${\mu }_1$ і ${\mu }_2$. Простір з мірою $(X_1\times X_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mu }_1\otimes {\mu }_2)$ називається (прямим) добутком початкових просторів з мірою.

Властивості

• Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів.
• Для просторів з мірою $(X_i,{ℱ}_i,{\mu }_i),i=1,2$ добуток мір може бути визначеним неоднозначно. Достатньою умовою однозначності добутку мір є сигма-скінченність обох мір.
• Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір $({\mu }_1\otimes {\mu }_2{)}_{max}$ такий, що якщо значення $({\mu }_1\otimes {\mu }_2{)}_{max}(A)$ є скінченним то для всіх добутків мір їх значення на множині A теж рівне $({\mu }_1\otimes {\mu }_2{)}_{max}(A).$

Визначення в теорії ймовірностей

• Якщо $({\mathrm{\Omega }}_i,{ℱ}_i,{\mathbb{P}}_i),i=1,2$ — два ймовірнісних простори, то $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2)$ називається їх добутком.
• Якщо $X,Y:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ — випадкові величини, то ${\mathbb{P}}^X,{\mathbb{P}}^Y$ — розподіли на $ℝ$ $X$ і $Y$ відповідно, а ${\mathbb{P}}^{X,Y}$ — розподіл на ${ℝ}^2$ випадкового вектора $(X,Y{)}^{\mathrm{\top }}$. Якщо $X,Y$ — незалежні, то

${\mathbb{P}}^{X,Y}={\mathbb{P}}^X\otimes {\mathbb{P}}^Y.$

Приклад

• Міра Лебега $m_n$ на ${ℝ}^n$ може бути визначена як добуток $n$ одновимірних мір Лебега $m_1$ на $ℝ$:

$ℬ({ℝ}^n)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}ℬ(ℝ),$

де $ℬ(X)$ позначає борелівську $\sigma$-алгебру на просторі $X$, і

$m_n=\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{m}_1.$

• Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай $X_1,X_2=[0,1]\subset ℝ.$ На першій множині введемо звичайну міру Лебега, на другій — лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A×B, де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною.

На діагоналі множини $[0,1]\times [0,1]$ перша міра рівна 0, а друга — нескінченності.

Див. також

• Теорема Фубіні.

Джерела

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation