Нільпотентна матриця

У лінійній алгебрі нільпотентною матрицею називається квадратна матриця N така що

$N^k=0$

для деякого додатного цілого числа k. Найменше таке k іноді називають порядком або індексом матриці N.

Нільпотентним лінійним перетворенням називається лінійне перетворення L лінійного простору таке що L^k = 0 для деякого цілого числа k (і відповідно, L^j = 0 для всіх j ≥ k). Обидва ці поняття є прикладами нільпотентних елементів кільця.

Приклади

Матриця

$M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

є нільпотентною, оскільки M² = 0. Більш загально, будь-яка трикутна матриця всі діагональні елементи якої рівні 0 є нільпотентною порядку $\le n$. Наприклад, матриця

$N=\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& 6\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

є нільпотентною:

$N^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2& 7\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right];N^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Матриця

$N=\left[\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ 15& -9& 6\\ 10& -6& 4\end{array}\right]$

є нільпотентною, оскільки її квадрат дорівнює нулю, хоча всі елементи матриці є ненульовими.

Класифікація

Матриця розмірності n × n і виду:

$S=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

є нільпотентною порядку n.

Як частковий випадок жорданової нормальної форми кожна нільпотентна матриця N є подібною до блокової матриці виду:

$\left[\begin{array}{cccc}{S}_1& 0& \dots & 0\\ 0& S_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & S_r\end{array}\right]$

де кожен з блоків S₁, S₂, ..., S_r є матрицею виду розглянутого вище.

Наприклад будь-яка ненульова нільпотентна матриця порядку 2 × 2 є подібною до матриці

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

Дана теорема про класифікацію справедлива для довільного поля, не обов'язково алгебраїчно замкнутого.

Послідовність підпросторів

Нільпотентне перетворення L на просторі Rⁿ визначає послідовність підпросторів

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^2\subset \dots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^q={ℝ}^n$

і послідовність цілих чисел

$0=n_0<n_1<n_2<\dots <n_{q-1}<n_q=n,n_i=\dim \ker L^i.$

Дана послідовність чисел визначає L з точністю до оборотних лінійних перетворень. Окрім того справедливі нерівності:

$n_{j+1}-n_j\le n_j-n_{j-1},\text{for all }j=1,\dots ,q-1.$

Навпаки довільна послідовність натуральних чисел, що задовольняють цим послідовностям пов'язана з деяким нільнотентним перетворенням.

Властивості

Для квадратної матриці N порядку n × n з дійсними чи комплексними елементами, наступні твердження є еквівалентними:

• Матриця N є нільпотентною.
• Мінімальний многочлен матриці N рівний x^k для деякого натурального числа k ≤ n.
• Характеристичний многочлен матриці N рівний xⁿ.
• Всі власні значення матриці N дорівнюють 0.
• Слід матриць (N^k) = 0 для всіх k > 0.

Останнє твердження справедливе для всіх полів характеристики 0 або достатньо великої характеристики.

• Порядок нільпотентної матриці розмірності n × n завжди менший або рівний n.
• Визначник і слід нільпотентної матриці дорівнюють 0. Відповідно кожна нільпотентна матриця є виродженою.
• Єдиною нільпотентною діагоналізовною матрицею є нульова матриця.
• Якщо N — нільпотентна матриця, то матриця I + N є оборотною, де I є одиничною матрицею розмірності n × n. Обернена матриця задається рядом:$(I+N{)}^{-1}=I-N+N^2-N^3+\cdots .$

З нільпотентності N випливає, що лише скінченна кількість доданків у ряді є ненульовими.

• Якщо матриця N є нільпотентною то $\det (I+N)=1,$

Навпаки якщо A є матрицею і $\det (I+tA)=1$

для всіх t, то A є нільпотентною. Оскільки $p(t)=\det (I+tA)-1$ є многочленом степеня $n$, достатньо виконання рівності лише для $n+1$ різних значень $t$.

• Кожна вироджена матриця може бути записана як добуток нільпотентних матриць.
• Якщо A і B — дві комутуючі квадратні нільпотентні матриці однакової розмірності, то нільпотендним буде і їх добуток і всі лінійні комбінації.

Справді, якщо p є більшим з порядків нільпотентності матриць A і B то:

$(AB{)}^p=A^p{B}^p=0$

і, оскільки i або 2p – i є не меншим від p то:

$(\alpha A+\beta B{)}^{2p}=\sum _{i\in [0,2p]}{C}_{2p}^i{\alpha }^i{\beta }^{2p-i}{A}^i{B}^{2p-i}=0.$

Див. також

• Нільпотентний елемент
• Уніпотентна матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Nilpotent matrix і nilpotent transformation on PlanetMath.