Напівнеперервна функція

напівнеперервна зверху функція.

напівнеперервна знизу функція.

Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.

Визначення

Нехай $X$ — топологічний простір, $x_0\in X$ і $f:X\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ функція зі значеннями у множині розширених дійсних чисел.

Функція $f$ називається неперервною зверху (знизу) в точці $x_0$ якщо для довільного $\epsilon >0$ існує окіл $U$ точки $x_0$ такий, що $f(x)⩽f(x_0)+\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in U(f(x)⩾f(x_0)-\epsilon ,\mathrm{\forall }x\in U),$ якщо$f(x_0)>-\mathrm{\infty }(f(x_0)<\mathrm{\infty })$, і $f(x)$ прямує до $-\mathrm{\infty }(\mathrm{\infty })$ коли $x$ прямує до $x_0$ якщо $f(x_0)=-\mathrm{\infty }(\mathrm{\infty })$.

У випадку метричного простору $(X,\varrho )$ ці умови можна записати так

$\underset{x\to x_0}{\bar{\lim }}f(x)⩽f(x_0)(\underset{x\to x_0}{\underset{―}{\lim }}f(x)⩾f(x_0)),$

де $\bar{\lim }$ позначає точну верхню границю.

Функція $f$ називається напівнеперервною зверху (знизу) на $M\subset X$, якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх $x_0\in M$.

Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на $X$ якщо $\mathrm{\forall }\alpha \in ℝ$ множина $\{x\in X:f(x)<\alpha \}(\{x\in X:f(x)>\alpha \})$ є відкритою. Ввівши в множині дійсних чисел топологію $O_{<}:=\{[-\mathrm{\infty },a);a\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}\}$ для топологічного простору $(X,O)$ маємо, що функція $f:X\to ℝ$ є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел: $(X,O)\to (ℝ,O_{<})$. Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію $O_{>}:=\{(a,\mathrm{\infty }];a\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}\}.$ Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.

Приклади

• Ціла частина числа $x\mapsto [x]$ є напівнеперервною зверху функцією;
• Дробова частина числа $x\mapsto \{x\}$ напівнеперервна знизу.
• Функція Діріхле $f(x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in ℝ-\mathbb{Q}\end{array}$ є напівнеперервною зверху в усіх раціональних точках і напівнеперервною знизу в ірраціональних.
• Функція :$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin (1/x)& \text{if }x\ne 0,\\ 1& \text{if }x=0,\end{array}$

є напівнеперервною взверху в точці x = 0.

• Індикатор ${\mathrm{𝟏}}_U$ довільної відкритої множини $U\subset X$ є напівнеперервною знизу функцією.
• Індикатор ${\mathrm{𝟏}}_V$ довільної замкнутої множини $V\subset X$ є напівнеперервною зверху функцією.
• Нехай $y^{\prime }=F(x,y),y_0=y(x_0)$ — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині $E\subset {ℝ}^{n+1}$ і для кожної точки $(x_0,y_0)\in E$ існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь $y(x)$, визначений на проміжку $w_{-}<x<w_{+}.$ Числа $w_{-},w_{+}$ загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції $w_{-}(x_0,y_0),w_{+}(x_0,y_0)(x_0,y_0)\in E.$ Тоді функція $w_{-}(x_0,y_0)$ є напівнеперервною зверху на множині E, а функція $w_{+}(x_0,y_0)$ є напівнеперервною знизу на множині E.

Властивості

• Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу.
• Якщо $f:X\to ℝ$ є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки.
• Нехай $f,g:X\to ℝ$ є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума $f+g$ також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху.
• Якщо $f,g$ — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція $f\circ g$ є також напівнеперервною зверху.
• Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці $x_0$ функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в $x_0$. Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій $f_n:X\to ℝ,n\in \mathbb{N}$ таких, що $f_{n+1}(x)⩾(⩽)f_n(x)\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }x\in X.$ Тоді якщо існує межа $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in X,$ то $f$ напівнеперервна знизу (зверху).
• Якщо $u:X\to ℝ$ і $v:X\to ℝ$ є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху, і на всьому просторі виконано

$-\mathrm{\infty }<v(x)⩽u(x)<\mathrm{\infty },x\in X,$

то існує неперервна функція $f:X\to ℝ$, така що

$v(x)⩽f(x)⩽u(x),x\in X.$

• Нехай дано компактну множину $K\subset X.$ Тоді напівнеперервна знизу (зверху) функція $f:K\to ℝ$ досягає на $K$ свого мінімуму (максимуму).
• Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо $\mu$ — невід'ємні міра на ${ℝ}^n$, то для будь-якої $\mu$-вимірної функції $f:{ℝ}^n\to ℝ$ існують дві послідовності функцій $\{u_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ і $\{v_k{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$, що задовольняють умовам:

1. $u_k$ — напівнеперервні знизу, $v_k$ — напівнеперервні зверху,
2. кожна функція $u_k$ є обмеженою знизу, кожна функція $v_k$ — зверху,
3. послідовність $u_k$ незростаюча, послідовність $v_k$ неспадна,
4. $v(x)⩽f(x)⩽u(x),x\in {ℝ}^n,$
5. $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{u}_n(x)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{v}_n(x)=f(x),$ $\mu$-майже всюди.
6. якщо для $E\subset {ℝ}^n$ функція $f$ є інтегровною за Лебегом на $E$ ($f\in L(E)$), то також $u_k,v_k\in L(E)$ і

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{E}{\int }{u}_{n}d\mu =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{E}{\int }{v}_n(x)d\mu =\underset{E}{\int }f(x)d\mu .$

Див. також

• Одностороння границя

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Перестюк М. О., Станжицький О. М., Капустян О. В., Ловейкін Ю. В. Варіаційне числення та методи оптимізації: Навч. посібник. — К., 2010. — 121 c.
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 Шаблон:Ref-en