Слабка похідна

«Слабка похідна» (в математиці) — узагальнене поняття похідної функції («сильна похідна») для функцій, інтегровних за Лебегом (тобто з простору $L_1$), але не диференційовних.

Визначення

Нехай $u$ — функція з $L^1([a,b])$. Функцію $v(t)$ з $L^1([a,b])$ називають «слабкою похідною» $u$, якщо

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

для усіх неперервно диференційовних функцій $\phi$ при $\phi (a)=\phi (b)=0$. Це визначення засновано на методі інтегрування частинами.

Узагальнюючи на $n$ вимірів, якщо $u$ і $v$ належать простору $L_{loc}^1(U)$ локально інтегровних функцій для деякої області $U\subset {ℝ}^n$, і якщо $\alpha$ — це мультиіндекс, то $v$ називається слабкою похідною $u$ порядку $\alpha$, якщо

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi$

для усіх $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ — фінітних в $U$ нескінченно гладких функцій.

Якщо у функції $u$ є слабка похідна, то її часто позначають через $D^{\alpha }u$, тому що вона єдина з точністю до множини міри нуль.

Приклади

• Функція u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, яка не має похідної в точці t = 0, проте має на проміжку [−1, 1] слабку похідну v, так звану «функцію знаку» (sgn), визначену таким співвідношенням:

$v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)=\{\begin{array}{cc}1,& t>0;\\ 0,& t=0;\\ -1,& t<0.\end{array}$

Це не єдина похідна u: усіляка функція w, що збігається з v, майже скрізь також буде слабкою похідною u. Як правило це не є проблемою, так як з точки зору просторів L^p та просторів Соболєва вони еквівалентні.

• Характеристична функція множини раціональних чисел D (Функція Діріхле) ніде не диференційована, але слабку похідну має усюди. Через те, що міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то

$\int D(t)\phi (t)dt=0$

Таким чином, $v(t)\equiv 0$ є слабка похідна функції D. Це має бути інтуїтивно зрозуміло, адже D в просторі L^p еквівалентна тотожному нулю.

Властивості

• Якщо дві функції є слабкими похідними однієї і тієї ж функції, то вони збігаються на множині повної міри (майже скрізь). Якщо, як прийнято в просторах $L_p$, покладати майже скрізь рівні функції еквівалентними, то слабка похідна визначена єдиним чином.

• Якщо u має звичайну («сильну») похідну, тоді вона буде слабкою похідною. В цьому сенсі, слабка похідна є узагальненою сильною. Більш того, класичні правила для похідних від суми і від добутку функцій зберігаються для слабких похідних також.

Розвиток

Поняття слабкої похідної заклало основу для побудови т. з. слабких рішень в просторі Соболєва, які виявилися корисними в теорії диференціальних рівнянь і в функціональному аналізі.

Література

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Михлин С. Г. Курс математической физики, Спб.: Лань, 2002
• Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
• Ладыженская О. А. , Уральцева Н .Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, М.: Наука, 1973