Одиничне коло

Шаблон:Тригонометрія Одиничне коло — це коло з радіусом 1 та центром в початку координат. Поняття одиничного кола можна легко узагальнити до n-вимірного простору ($n>2$). У такому випадку використовується термін «Одинична сфера».

Для координат всіх точок на колі, за теоремою Піфагора, виконується рівність $x^2+y^2=1.$

Не плутайте терміни «коло» і «круг»!

• Коло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до заданої точки, що називається «центром кола», є постійною величиною і дорівнює радіусу кола.
• Круг — геометрична фігура обмежена колом. Іншими словами, круг — це множина, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки (центр круга) не перевищує заданої відстані (радіуса). Коло є межею круга.

Одиничне коло є основою в принципі роботи координатного транспортиру.

Тригонометричні функції

Визначення тригонометричних функцій на одиничному колі.

Синус та косинус можуть бути описані наступним чином: об'єднавши будь-яку точку $(x,y)$ на одиничному колі з початком координат $(0,0)$, ми отримаємо відрізок, що знаходиться під кутом $\alpha$ відносно додатного напрямку осі абсцис. Тоді:

Косинусом кута називається відношення абсциси точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до його радіуса:

$\cos \alpha =\frac{x}{R}=\frac{x}{1}=x$

Синусом кута називається відношення ординати точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до його радіуса:

$\sin \alpha =\frac{y}{R}=\frac{y}{1}=y$

Тангенсом кута називається відношення ординати точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до її абсциси:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x}$

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки $P_{\alpha }(x;y)$ кола до її ординати:

$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{x}{y}$,

де $R$ це радіус одиничного кола.

Підставивши ці значення в раніше наведене рівняння $x^2+y^2=1$, ми отримуємо:

${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$

Зверніть увагу на загальновживане написання ${\cos }^{2}x=(\cos x{)}^2$.

Також тут наочно описується періодичність тригонометричних функцій, так як кут відрізка не залежить від кількості «повних обертів»:

$\sin (\alpha +2\pi k)=\sin \alpha$

$\cos (\alpha +2\pi k)=\cos \alpha$

$\mathrm{tg}(\alpha +\pi k)=\mathrm{tg}\alpha$

$\mathrm{ctg}(\alpha +\pi k)=\mathrm{ctg}\alpha$

для всіх цілих чисел $k$, тобто для $k\in \mathbb{Z}.$

Нехай точка $P_0$- правий кінець горизонтального діаметра. Кожному дійсному числу $\alpha$ можна поставити у відповідність точку кола $P_{\alpha }$ одиничного кола за такими правилами:

1. Якщо $\alpha >0$ , то, рухаючись по колу із точки $P_0$ в напрямі проти годинникової стрілки (додатній напрям обходу кола), описати по колу слід довжину $\alpha$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою $P_{\alpha }$.
2. Якщо $\alpha <0$ , то, рухаючись по колу із точки $P_0$ в напрямі за годинниковою стрілкою, описати по колу слід довжину $\left|\alpha \right|$ , кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою $P_{\alpha }$.
3. Якщо $\alpha =0$ , то, то у відповідність ставиться точка $P_0$.
4. Якщо $\alpha ={\alpha }_0+2\pi k$, де $k$ - ціле число, то при повороті на кут $\alpha$ одержають одну й ту ж точку, що й при повороті на кут ${\alpha }_0$.
5. Якщо точка $P$ відповідає числу $\alpha$, то вона і відповідає всім числам $\alpha =\alpha +2\pi k$, де$2\pi$ - довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а $k$ - ціле число, що показує кількість повних обертів по колу в ту чи іншу сторону.

Комплексна площина

В комплексній площині одиничне коло — це множина $G\subset ℂ$:

$G=\{z:\mathrm{R}\mathrm{e}\{z{\}}^2+\mathrm{I}\mathrm{m}\{z{\}}^2=1\}=\{z:z=e^{i\varphi },0\le \varphi <2\pi \}$

Множина $G$ є підгрупою групи комплексних чисел по множенню, її нейтральним елементом є $e^{i0}=1$).

Посилання

Одиничне коло в тригонометрії: основи та застосування.Шаблон:В планах