Диференціальне числення

Графік функції, що позначено чорним кольором, та дотична до нього (червоний колір). Значення тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до кривої у точці, є значення похідної у цій точці (брунатний колір)

Диференціальне числення — розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференціювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.

Диференціальне числення базується на таких найважливіших поняттях математики, визначення та дослідження яких і становлять предмет введення до математичного аналізу: дійсні числа (числова пряма), функція, границя, неперервність. Всі ці поняття отримали сучасне трактування у ході розвитку й обґрунтування диференціального та інтегрального числень.

Основна ідея диференціального числення складається у вивченні функції у малому. Точніше диференціальне числення дає апарат для дослідження функцій, поведінка яких у досить малому околі кожної точки близька до поведінки лінійної функції чи многочлена. Таким апаратом слугують центральні поняття диференціального числення: похідна і диференціал.

Похідна

Поняття похідної виникло з великої кількості задач природничих наук і математики, які зводилися до обчислення границь одного й того ж типу. Найголовніші серед них — обчислення швидкості прямолінійного руху точки та побудова дотичної до графіка функції.

Обчислення швидкості

Якщо рух точки є прямолінійним рівномірним, то швидкість не змінюється з часом і визначається як відношення пройденого шляху на час, який був витрачений на це. Проте, якщо рух є нерівномірним, то швидкість є функція часу, оскільки за однакові проміжки часу пройдений шлях буде різним. Наприклад, вільне падіння тіл. Закон руху такого тіла задається формулою $s(t)=\frac{g{t}^2}{2}$, де s — пройдений шлях з початку падіння (в метрах), t — час падіння (в секундах), g — стала величина, яка називається прискоренням вільного падіння, $g\approx 9,8$ м/с². Таким чином за першу секунду падіння тіло пролетить (приблизно) 4,9 м, за другу — 14,7 м, а за десяту — 93,2 м, тобто падіння відбувається нерівномірно. Тому обчислення швидкості як відношення шляху до часу тут не може бути використаним. У цьому випадку розглядається середня швидкість руху за деякий проміжок часу після (або до) фіксованого моменту $t$. Вона (швидкість) визначається як відношення довжини шляху, який пройдено за цей проміжок часу, до його тривалості. Ця середня швидкість залежить не лише від моменту $t$, але й від вибору проміжку часу. Для нашого прикладу середня швидкість падіння за проміжок часу від $t$ до $t+\mathrm{\Delta }t$ дорівнює:

$\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=gt+\frac{g}{2}\mathrm{\Delta }t(1)$

При необмеженому зменшенні проміжку $\mathrm{\Delta }t$, вираз (1) поступово наближується до $gt$. Цю величину називають швидкістю руху в момент часу $t$. Таким чином, швидкість руху у будь-який момент руху визначається як границя середньої швидкості, коли проміжок часу необмежено зменшується.

В загальному випадку ці розрахунки необхідно проводити для будь-якого моменту часу $t$, проміжку часу від $t$ до $t+\mathrm{\Delta }t$ та закону руху, який виражається формулою $s=f(t)$. Тоді середня швидкість руху за проміжок часу від $t$ до $t+\mathrm{\Delta }t$ задається формулою $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$, де $\mathrm{\Delta }s=f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)$, а швидкість руху у момент часу $t$ дорівнює:

$v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{f(t+\mathrm{\Delta }t)-f(t)}{\mathrm{\Delta }t}(2)$

Основні переваги швидкості у даний момент, або миттєвої швидкості, перед середньою у тому, що вона є функцією часу як і закон руху, а не функцією інтервалу ($t$, $t+\mathrm{\Delta }t$). Проте, миттєва швидкість є деякою абстракцією, оскільки безпосередньому вимірюванню підлягає лише середня швидкість, а не миттєва.

Побудова дотичної

Побудова дотичної до графіка функції

До виразу типу (2) зводиться задача побудови дотичної до площини кривої у деякій точці $M$. Нехай крива Г є графіком функції $y=f(x)$. Положення дотичної можна знайти якщо знати її кутовий коефіцієнт, тобто тангенс кута $\alpha$, який дотична утворює з додатнім напрямом осі $Ox$.

Позначимо через $x_0$ абсцису точки $M$, а через $x_1=x_0+\mathrm{\Delta }x$ — абсцису точки $M_1$. Кутовий коефіцієнт січної $M{M}_1$ дорівнює:

$\tan \beta =\frac{M_{1}N}{MN}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$,

де $\mathrm{\Delta }y=M_{1}N=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ — приріст функції на проміжку $[x_0,x_1]$. Якщо визначати дотичну у точці $M$ як граничне положення січної $M{M}_1$ при $x_1$ прямує до нуля, то отримаємо:

$\tan \alpha =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$.

Поняття похідної

Шаблон:Докладніше Отже, якщо не зважати на механічний та геометричний зміст попередніх задач, а виділити спільних метод їх розв'язку приходимо до поняття похідної. Похідною функції $y=f(x)$ у точці $x$ називається границя (якщо ця границя існує) відношення приросту функції до приросту аргументу, що прямує до нуля так що:

$y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$.

За допомогою похідної також можна визначити силу струму, як границю $\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }q}{\mathrm{\Delta }t}$, де $\mathrm{\Delta }q$ — додатній електричний заряд, який проходить через провідник за час $\mathrm{\Delta }t$, а також багато інших задач фізики та хімії.

Похідну функції $y=f(x)$ позначають $f^{\prime }(x),y^{\prime },\frac{dy}{dx},\frac{df}{dx},Df(x)$.

Якщо функція $y=f(x)$ має похідну у точці $x_0$, то вона визначена як у самій точці $x_0$, так і у деякому околі цієї точки та неперервна у точці $x_0$. Проте, обернене твердження змісту не має. Наприклад, неперервна у кожній точці функція $y=|x|=+\sqrt{x^2}$, графіком якої є бісектриси першого та другого координатних кутів, при $x=0$ не має похідної, оскільки відношення $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ не має границі при $\mathrm{\Delta }x\to 0$: якщо $\mathrm{\Delta }x>0$це відношення дорівнює $+1$, а якщо $\mathrm{\Delta }x<0$, то воно дорівнює $-1$. Більш того, існують неперервні функції, які не мають похідної в усіх точках.

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням. На класі функцій, що мають похідну, ця операція лінійна.

Якщо функція є складеною, тобто $y=f(u)$ та $u=\varphi (x)$, або всерівно що $y=f[\varphi (x)]$, то $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\varphi }^{\prime }(x)$

Якщо похідна $f^{\prime }(x)$ має похідну, то її називають другою похідною функції $y=f(x)$ та позначають $y^{″},f^{″}(x),\frac{d^{2}x}{d{x}^2},\frac{d^{2}f}{d{x}^2},D^{2}f(x)$. З механічної точки зору друга похідна — це прискорення.

Аналогічним чином дається визначення похідної вищого порядку. Похідна порядку n позначається: $y^n,f^n(x),\frac{d^{n}x}{d{x}^n},\frac{d^{n}f}{d{x}^n},D^{n}f(x)$.

Таблиця похідних

Основні похідні

• Похідна від сталої: $(C{)}^{\prime }=0$
• Похідна від степеневої функції: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
• Похідна від показникової функції: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$
• Похідна від експоненти: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• Похідна від логарифмічної функції: $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$
• Похідна від натурального логарифма: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• Похідна від синуса: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$
• Похідна від косинуса: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
• Похідна від тангенса: $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
• Похідна від котангенса: $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
• Похідна від арксинуса: $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Похідна від арккосинуса: $(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

Правила диференціювання

• Сталу можна виносити за знак похідної: $[Cf(x){]}^{\prime }=C{f}^{\prime }(x)$
• Сума та різниця похідних: $[f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$
• Добуток похідних: $[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
• Частка похідних: $\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$

Тут $C,n,a(a>0)$ — сталі величини. Ця таблиця, зокрема, показує, що похідна від будь-якої елементарної функції також є елементарна функція.

Диференціал

Поняття диференціалу є математичним виразом, який у дуже малому околі точки визначає криву як лінійну функцію. На відміну від похідної, воно легко переноситься на відображення одного евклідового простору в іншому та на відображення довільних лінійних нормованих просторів і є одним з основних понять сучасного нелінійного функціонального аналізу.

Диференціалом функції $y=f(x)$ називається вираз $dy=y^{\prime }dx$, де $dx=\mathrm{\Delta }x$ приріст аргументу x.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Ремез, Н. С. Вища математика. Спеціальні розділи: Диференціальне числення функцій двох змінних. Розрахункова робота (Електронний ресурс) Шаблон:Webarchive : навч. посіб. для здобувачів ступеня бакалавра за освітньою програмою «Інженерна екологія та ресурсозбереження» / Н.  С.  Ремез, В.  Ф.  Мейш, В.  О.  Броницький ; КПІ ім. Ігоря Сікорського. — Електронні текстові дані (1 файл: 1,26 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2019. — 77 с. — Назва з екрана.
• Математичний аналіз 1. Диференціальне числення функцій дійсної змінної. Збірник задач для розрахункових робіт (Електронний ресурс): навчальний. посібник для студентів спеціальності 124 «Системний аналіз» / КПІ ім. Ігоря Сікорського ; уклад.: Ю.  В.  Богданський, В.  Г.  Бондаренко, А.  Ю.  Мальцев, Г.  Б.  Подколзін. — Електронні текстові дані (1 файл: 2,36 Мбайт). — Київ: КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2020. — 59 с.
• Шаблон:Клепко ВМ
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Динамічні моделі FIZMA.neT Шаблон:Webarchive