Сигма-алгебра

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин $𝔊$ називається множина E, що належить до $𝔊$ і для довільної множини $A\in 𝔊$ виконується:

$A\cap E=A$.

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин $A_1,\dots ,A_n,\dots$ містить також їх об'єднання

$\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин $A_1,\dots ,A_n,\dots$ містить також їх перетин:

$\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості

Для довільної непорожньої системи множин $𝔊$ існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра $𝔅(𝔊)$, що містить $𝔊$ і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить $𝔊$.

Така σ-алгебра $𝔅(𝔊)$ називається мінімальною.

Приклади

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів $[a;b]$.

Прості приклади на основі множин

Нехай X - довільна множина.

• Сімейство множин що складається лише з порожньої множини і множини X, називається мінімальною, або тривіальною σ-алгеброю над X.
• Булеан X, називають дискретною σ-алгеброю.

Література

• Шаблон:Колмогоров.Фомин

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Міра множини
• Фільтрація (випадкові процеси)

Шаблон:Перекласти Шаблон:Math-stub