Ірраціональне число

Математична константа пі (π) є ірраціональним числом.

Число $\sqrt{2}$ є ірраціональним числом.

Ірраціональні числа (позначення для множини — $𝕀$) — це всі дійсні числа, що не є раціональними: $𝕀=ℝ\setminus \mathbb{Q}$, — тобто не можуть бути записані як відношення цілих чисел $\frac{z}{n}$ ($z\in \mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$), а лише нескінченними неперіодичними десятковими дробами.

Уперше І. ч. постали в геометрії під час вивчення довжин відрізків піфагорцями, які, як стверджує легендаШаблон:Джерело, виявили неспівмірність з одиницями вимірювання деяких геометричних величин. Оскільки це суперечило їхній філософії (цілком побудованій на натуральних числах), відкриття якнайсуворіше приховували, навіть покаравши на смерть одного зі своїх братів — Гіппаса Метапонтського, який (за різними джерелами) чи то першим знайшов, чи то розголосив цей факт.

Відмінності записування дійсних чисел

Десятковий дріб будь-якого раціонального числа має періодично повторювану частину (зокрема це можуть бути нулі, як у скінченних дробів і цілих чисел), н-д:

• $\frac{1}{3}=0.\bar{3}$, що означає «нуль цілих і три в періоді» (довжина періоду — один), тобто $3$ повторюється нескінчену кількість разів;
• $\frac{22}{7}=3.\overline{142857}$, що означає «три цілих і сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім у періоді» (довжина періоду — шість), тобто $142857$ повторюється нескінчену кількість разів;
• $\frac{265}{132}=2.00\overline{75}$, що означає «дві цілих, нуль сотих і сімдесят п'ять у періоді» (довжина періоду — два), тобто $75$ повторюється нескінчену кількість разів;
• $\frac{5}{2}=2.5\equiv 2.5\bar{0}$, скінченний дріб «дві цілих, п'ять десятих», тобто $0$ повторюється нескінчену кількість разів;
• $\frac{3}{1}=3.\equiv 2.\bar{9}$, ціле число «три еквівалентне двом цілим і дев'ять у періоді», тобто $9$ повторюється нескінчену кількість разів.

Періодичність дробу можна вважати критерієм приналежності числа до множини раціональних чисел.

Розкладання І. ч. у десятковий дріб не позначається такою періодичністю. Наприклад, відомо, що число пі — ірраціональне та навіть трансцендентне, тому, хоча в його десятковому записі окремі цифри та їх комбінації повторюються, не існує групи цифр, яка б нескінченно повторювалася, утворюючи період.

Інший спосіб записування додатних дійсних чисел: за допомогою ланцюгових дробів. Відмінність полягає в тому, що ланцюгові дроби раціональних чисел скінченні, а І. ч. — нескінченні, хоча для квадратичних ірраціональностей ланцюговий дріб періодичний.

Приклади

Квадратні корені

Квадратний корінь з двох — це перше число, ірраціональність якого було доведено. Іншим відомим ірраціональним числом є золотий перетин. Квадратні корені усіх натуральних чисел, які не є квадратними числами, є ірраціональними.

Приклади

$\frac{355}{113}=3+\frac{1}{7+\frac{1}{16}},$ — скінченний;

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}=[1;2,2,2\dots ]=[1;(2)]$ — з періодом довжини один;

$\sqrt{3}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\dots }}}}=[1;1,2,1,2\dots ]=[1;(1,2)]$ — з періодом довжини два;

$\pi =3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1+\frac{1}{292+\dots }}}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]$ (A001203 в енциклопедії цілих послідовностей Шаблон:Webarchive) — неперіодичний.

Філософське значення

Про існування неспівмірних відрізків знали вже древні математики: їм була відома, наприклад, неспівмірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильно ірраціональності числа $\sqrt{2}$ (перше знайдене І. ч.).

Піфагорове твердження, що всі речі є числа, відображало метафізичні уявлення стародавніх греків про Всесвіт як місце гармонії, яку власне можна описати відношеннями натуральних чисел. Так поєднання двох звуків, відношення частот яких є раціональним числом, дає приємне для вуха звучання.

З'ясування того, що $\sqrt{2}\approx 1,4142135$ не є раціональним числом, призвело до глибокої кризи давньогрецької математики, яка полягала в усвідомлені факту існування математичних величин, які не можливо відобразити числами, а лише через геометричні побудови. Як наслідок — давньогрецька математика відмовилася від алгебраїчного підходу, на користь геометричного.

Властивості

• Будь-яке дійсне число можна записати нескінченним десятковим дробом, проте тільки І. ч. записують неперіодичними десятковими дробами.
• Сума двох додатних І. ч. може бути раціональним числом.
• Кожне І. ч. визначає такий переріз Дедекінда у множині раціональних чисел $\mathbb{Q}$, для якого в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому — найменшого числа.
• Кожне І. ч. є або алгебраїчним, або трансцендентним. Кожне дійсне трансцендентне — ірраціональним.
• Множина І. ч. скрізь щільна на числовій прямій, тобто між будь-якими двома дійсними числами є І. ч. (і навіть нескінченно багато).
• Порядок на множині І. ч. — ізоморфний порядку на множині дійсних трансцендентних чисел.
• Множина І. ч. є незліченною, другої категорії.

Топологічні властивості $ℝ\setminus \mathbb{Q}$

• є підпростором евклідового простору $ℝ$;
• є G_δ-множиною, але не F_σ-множиною в $ℝ$, фактично: $ℝ\setminus \mathbb{Q}=\bigcap _{\alpha \in \mathbb{Q}}(ℝ\setminus \{\alpha \})$;
• є метричним простором, цілком нормальним і паракомпактним;
• є повним простором другої категорії;
• є сепарабельним простором;
• задовольняє другу аксіому зліченності;
• не є локально-компактним і σ-локально-компактним;
• є цілком відокремленим;
• є щільним у собі;
• не є розсіяним;
• є нульвимірним.

Див. також

• Міра ірраціональності

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Citation