Обгортка (геометрія)

Обгортка сімейства дотичних прямих.

Обгортка сімейства кривих на площині — це крива, що в кожній своїй точці є дотичною хоча б до однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком дотична до нескінченної кількості кривих сімействаШаблон:Sfn. Наприклад, будь-яка гладка крива, що не містить прямолінійних ділянок, буде обгорткою своїх дотичних.

Визначення

Нехай є сімейство гладких кривих $S=\{{\gamma }_{\alpha }\}$, залежне від параметру $\alpha$. Гладка крива $\gamma \in C^1$ буде обвідною сімейства S, якщоШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1. для кожної точки кривої $\gamma$ відповідає крива ${\gamma }_{\alpha }\in S$, дотична до $\gamma$ в цій точці,
2. для кожної кривої ${\gamma }_{\alpha }\in S$ відповідає точка на $\gamma$, в якій ${\gamma }_{\alpha }$ дотична до $\gamma$,
3. жодна крива сімейства S не має спільного відрізка з кривою $\gamma$.

Якщо сімейство кривих задано рівнянням $F(x,y,\alpha )=0$. Тоді обгортка сімейства кривих визначається системою

$\{\begin{array}{cc}F(x,y,\alpha )& =0\\ F_{\alpha }(x,y,\alpha )& =0\end{array}$

Приклади

• Для сімейства кіл однакового радіуса з центрами на прямій обвідна — це дві паралельні прямі.
• Астроїда є обвідною сімейства відрізків однакової довжини, кінці яких закріплені на двох взаємно-перпендикулярних прямих.
• Парабола є обвідною сімейства серединних перпендикулярів для відрізків, що з'єднують фіксовану точку (фокус параболи) та фіксовану пряму (директрису параболи).

Див. також

• Геометричне місце точок

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• «Enveloppe d'une Famille de Courbes Planes» at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга