Неперервна справа функція з лівосторонніми границями

Функції розподілу випадкової величини є прикладами càdlàg функцій

В математиці, càdlàg (Шаблон:Lang-fr, або англійською RCLL або Шаблон:Lang-en) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.

Означення

Нехай Шаблон:Nowrap — метричний простір, і Шаблон:Nowrap. Функція Шаблон:Nowrap називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх Шаблон:Nowrap,

• лівостороння границя Шаблон:Nowrap існує; і
• правостороння границя Шаблон:Nowrap існує і дорівнює ƒ(t).

Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями.

Приклади

• Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
• Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням.
• Права похідна $f_{+}^{\prime }$ будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцієюШаблон:Fact.

Простір Скорохода

Множина усіх càdlàg функцій Шаблон:Nowrap часто позначається як Шаблон:Nowrap (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо Шаблон:Nowrap та Шаблон:Nowrap — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.

З початку треба визначити аналог модуля неперервності, Шаблон:Nowrap. Для будь-якого Шаблон:Nowrap визначимо

$w_f(F):=\underset{s,t\in F}{\sup }|f(s)-f(t)|$

і для Шаблон:Nowrap визначимо càdlàg modulus як

$\varpi {\text{'}}_f(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{\inf }\underset{1\le i\le k}{\max }{w}_f([t_{i-1},t_i)),$

де infimum береться по всім розподілам Шаблон:Nowrap}, Шаблон:Nowrap з Шаблон:Nowrap. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді Шаблон:Nowrap коли Шаблон:Nowrap.

Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай

$\Vert f\Vert :=\underset{t\in E}{\sup }|f(t)|$

позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так

$\sigma (f,g):=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{\inf }\max \{\Vert \lambda -I\Vert ,\Vert f-g\circ \lambda \Vert \},$

де Шаблон:Nowrap є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" Шаблон:Nowrap вимірює розмір "збурення в часі", а Шаблон:Nowrap вимірює розмір "збурення в просторі".

Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.

Властивості простору Скорохода

Узагальнення однорідної торології

Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.

Повнота

Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ₀ з якою D є повним.

Сепарабельність

Якщо σ або σ₀, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є польським простором.

Щільність простору Скорохода

Застосовуючи теорему Арцела-Асколі, можна показати, що послідовність (μ_n)_n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є щільною тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:

$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n(\{f\in D|\Vert f\Vert \ge a\})=0,$

та

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{\mu }_n(\{f\in D|\varpi {\text{'}}_f(\delta )\ge \epsilon \})=0\text{ для всіх }\epsilon >0.$

Алгебраїчна та топологічна структура

При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:

Нехай $E=[0,2)$ одиничний интервал, а $f_n={\chi }_{[1-1/n,2)}\in D$ послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що $f_n\to {\chi }_{[1,2)}$ в топології Скорохода, послідовність $f_n-{\chi }_{[1,2)}$ не збігається до 0.

Див. також

• Неперервна функція
• Границя функції

Джерела

• Шаблон:Cite book