Сингулярні гомології

Сингулярні гомології — гомології, що визначаються виходячи з сингулярних симплексів топологічного простору X таким же чином, як звичайні (симпліційні) гомології (і когомології) поліедра — виходячи з лінійного симплекса.

У категорії поліедрів сингулярна теорія еквівалентна симпліційній (а також клітинній). Цим звичайно встановлюється топологічна інваріантність останніх. Проте значення груп сингулярних гомологій цим не вичерпується. Маючи простий опис, вони застосовні у достатньо широких категоріях гомотопно інваріантних топологічних просторів. Природні зв'язки з теорією гомотопій роблять сингулярну теорію незамінною в гомотопній топології.

Проте, хоча групи сингулярних гомологій визначені для будь-яких топологічних просторів без яких-небудь обмежень їх застосування виправдане лише при істотних обмеженнях типу локальної стягуваності або гомологічної локальної зв'язності. Сингулярні ланцюги, будучи за своєю природою «дуже» лінійно зв'язними, не несуть в собі інформацію про «неперервні» цикли, якщо вони не є «достатньо» лінійно зв'язними. Тому в загальних категоріях топологічних просторів замість сингулярних звичайно використовуються когомології Александрова — Чеха і асоційовані з ними гомології.

Означення

Під сингулярним симплексом ${\sigma }_n$ розуміється неперервне відображення n-вимірного стандартного симплекса ${\sigma }_n:{\mathrm{\Delta }}^n\to X$ причому образ ${\sigma }_n$ звичайно називається носієм ${\sigma }_n$ і позначається $|{\sigma }_n|$. Сингулярні ланцюги — формальні лінійні комбінації сингулярних симплексів з коефіцієнтами в абелевій групі G. Вони утворюють групу C_n(X, G). Групи ланцюгів об'єднуються в сингулярний ланцюговий комплекс $C_{\bullet }(X,G)$ з граничним гомоморфізмом ${\partial }_n:C_n\to C_{n-1}$, що визначається співвідношенням:

${\partial }_n{\sigma }_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k[p_0,\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]$

де ${\sigma }_n=[p_0,p_1,\cdots ,p_n]={\sigma }_n([e_0,e_1,\cdots ,e_n]).$

Ядро граничного оператора позначається $Z_n(X)=\ker ({\partial }_n)$, і називається групою сингулярних n-циклів. Образ граничного оператора позначається $B_n(X)=\mathrm{im}({\partial }_{n+1}),$ і називається групою сингулярних n-границь.

Також виконується рівність ${\partial }_n\circ {\partial }_{n+1}=0.$ n-на гомологічна група простору X визначається як факторгрупа:

$H_n(X)=Z_n(X)/B_n(X).$

Сингулярні когомології

Сингулярні когомології визначаються двоїстим чином. Комплекс коланцюгів $C^{\bullet }(X,G)$ визначається як комплекс гомоморфізмів в G комплексу цілочислових сингулярних ланцюгів $C_{\bullet }(X,\mathbb{Z})$. Менш формально, коланцюги — функції ξ, визначені на сингулярному симплексі, що приймають значення в G, а кограничний гомоморфізм d визначається формулою:

$({\partial }_n\eta ){\sigma }_{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}(-1{)}^k\eta [p_0,\cdots ,p_{k-1},p_{k+1},\cdots p_n]$

Сингулярні когомології $H^n(X,G)$ — це факторгрупи груп n-вимірних коциклів (ядер $\partial$) за підгрупами кограниць (образів $\partial$).

Гомології і когомології з коефіцієнтами в довільній групі G можуть бути виражені через цілочислові гомології за допомогою формул універсальних коефіцієнтів. Когомології з коефіцієнтами в групі G пов'язані з цілочисловими когомологіями формулами універсальних коефіцієнтів лише для скінченно породжених груп G.

f_# і g_#.

Гомотопна інваріантність

Якщо X і Y є двома гомотопно еквівалентними топологічними просторами, то

$H_n(X)\cong H_n(Y)$

для всіх n ≥ 0. Це означає, що сингулярні гомологічні групи є гомотопними інваріантами.

Зокрема, якщо X зв'язаним стягуваним простором, то всі його гомологічні групи є тривіальними, за винятком $H_0(X)\cong \mathbb{Z}$.

Більш загально, кожне неперервне відображення f: X → Y породжує гомоморфізми

$f_{\mathrm{♯}}:C_n(X)\to C_n(Y),$

для яких

$\partial f_{\mathrm{♯}}=f_{\mathrm{♯}}\partial ,$

тобто f_# є ланцюговим гомоморфізмом і відповідно породжує гомоморфізм на групах гомології

$f_{*}:H_n(X)\to H_n(Y).$

Тоді якщо f і g є гомотопними відображеннями, то f_* = g_*. Як наслідок, якщо f є гомотопною еквівалентністю, то f_* є ізоморфізмом, оскільки існує неперервне відображення h: Y → X для якого $h\circ f$ і $f\circ h$ є гомотопними відповідним тотожним відображенням. Тому $h_{*}\circ f_{*}$ і $f_{*}\circ h_{*}$ є тотожними гомоморфізмами на $H_n(X)$ і $H_n(Y)$ відповідно, тож h_* є оберненим гомоморфізмом до f_*.

Для доведення факту, що f_* = g_* для гомотопних відображень, достатньо побудувати ланцюгову гомотопію:

$P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$

між ланцюговими гомоморфізмами f_# і g_#.

Нехай F : X × [0, 1] → Y є гомотопією між f і g. Вона породжує ланцюгові гомоморфізми :$F_{\mathrm{♯}}:C_n(X\times [0,1])\to C_n(Y).$ Якщо $i_0:X\to X\times 0$ і $i_1:X\to X\times 1$ є відповідними вкладеннями то достатньо побудувати ланцюгову гомотопію

$P^{\prime }:C_n(X)\to C_{n+1}(X\times [0,1])$

між $(i_0{)}_{\mathrm{♯}}$ і $(i_1{)}_{\mathrm{♯}}$. Тоді $P=F_{\mathrm{♯}}\circ P^{\prime }$ буде необхідною ланцюговою гомотопією між f_# і g_#.

Оскільки $P^{\prime }$ відображає базові елементи σ: Δⁿ → X із C_n(X) у елемент із C_n+1(X × [0, 1]) то має зміст розглянути Δⁿ × [0, 1]. Цей топологічний простір можна триангулювати індукцією по розмірності кістяка. Для розмірності менше 0 є порожньою множиною. Якщо побудована триангуляція для всіх k < r і λ є деяким симплексом розмірності r, то для границі $\overline{\lambda }$ за припущенням індукції існує триангуляція простору $\overline{\lambda }\times [0,1].$ Якщо позначити $\hat{\lambda }$ точку $(b,1/2)$ для барицентра b відповідного симплекса то симплексами у триангуляції (Δⁿ)^r × [0, 1] будуть усі симплекси μ із триангуляції (Δⁿ)^{r - 1} × [0, 1], а також симплекси виду $(\hat{\lambda }\mu )$ для симплексів μ із триангуляції $\overline{\lambda }\times [0,1]$ (тобто симплекси $\overline{\lambda }\times [0,1]$вершинами яких є $\hat{\lambda }$ і вершини симплекса μ) для всіх симплексів λ розмірності r, самі точки $\hat{\lambda }$ для цих симплексів і також симплекси $\lambda \times 0$ і $\lambda \times 1$ і $\hat{\lambda }\lambda \times 0$ з $\hat{\lambda }\lambda \times 1$ Для r = n зокрема одержується триангуляція Δⁿ × [0, 1].

Припустимо, що вже побудовано $P^{\prime }:C_r(X)\to C_{r+1}(X\times [0,1])$ для всіх r < n і всіх просторів X (для r < 0 можна взяти нульовий гомоморфізм). Для сингулярного симплекса σ: Δⁿ → X визначимо:

$P^{\prime }(\sigma )=(\sigma \times 1{)}_{\mathrm{♯}}\left(a[{\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n]\right).$

Вище позначено точку $a=(b,1/2)$ для барицентра b і для довільного симплекса $\mathrm{\Delta }$ вираз $a\mathrm{\Delta }$ позначає симплекс із вершинами із $\mathrm{\Delta }$ і a із продовженням по лінійності. Також за індукцією $P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n$ є лінійною комбінацією симпліційних відображень.

Для цього гомоморфізму

$\partial P^{\prime }(\sigma )=(\sigma \times 1{)}_{\mathrm{♯}}({\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n-a\partial [{\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n])$

Але $\partial [{\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n]=\partial {\mathrm{\Delta }}_n\times 1-\partial {\mathrm{\Delta }}_n\times 0-\partial P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n.$ Згідно припущення індукції для n - 1 і простору ${\mathrm{\Delta }}_n$:

$\partial P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n=\partial P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n+P^{\prime }\partial \partial {\mathrm{\Delta }}_n=(i_1{)}_{\mathrm{♯}}\partial {\mathrm{\Delta }}_n-(i_0{)}_{\mathrm{♯}}\partial {\mathrm{\Delta }}_n=\partial {\mathrm{\Delta }}_n\times 1-\partial {\mathrm{\Delta }}_n\times 0.$

Звідси $a\partial [{\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n]=0$ і тому:

$\partial P^{\prime }(\sigma )=(\sigma \times 1{)}_{\mathrm{♯}}({\mathrm{\Delta }}_n\times 1-{\mathrm{\Delta }}_n\times 0-P^{\prime }\partial {\mathrm{\Delta }}_n)=(i_1{)}_{\mathrm{♯}}(\sigma )-(i_0{)}_{\mathrm{♯}}(\sigma )-P^{\prime }\partial (\sigma ),$

що завершує індуктивний крок у побудові гомоморфізму $P^{\prime }$ і відповідно також гомоморфізму P який і буде ланцюговою гомотопією між f_# і g_#.

Див. також

• ∪-добуток
• Когомологія де Рама
• Ланцюговий комплекс
• Ланцюгова гомотопія
• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Симпліційна гомологія

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — Москва: Наука, 1984
• Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
• Лефшец С. Алгебраическая топология. — Москва: ИЛ, 1949
• Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — Москва: МЦНМО, 2006
• Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — Москва: Наука, 1985
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971
• Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. —Москва: Физматгиз, 1958
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — Москва: Наука, 1989