Теорема про універсальні коефіцієнти

Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами Шаблон:,Шаблон:,Шаблон:,. Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі $G$ (серед найважливіших для застосувань є групи $\mathbb{Q}$ і ${\mathbb{Z}}_p$) через обчислення для коефіцієнтів $\mathbb{Z}$, які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс МаклейнШаблон:,. У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей .

Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару $⟨-,-⟩:H^i(C^{\bullet })\otimes H_i(C_{\bullet })\to \mathbb{Z}$ для кожного ланцюгового комплекса $C$. Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами $H^i(C^{\bullet })\to \mathrm{Hom}(H_i(C),\mathbb{Z}),$ для якого образом кожного $i$-коцикла $f$ є гомоморфізм ${\varphi }_f:x\mapsto f(x)$. Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж $\mathbb{Z}.$

Твердження теореми

Нехай C є ланцюговим комплексом із цілими коефіцієнтами, а $H_i(C)$ і $H^i(C)$ позначають відповідні гомологічні і когомологічні групи. Для деякої абелевої групи G нехай $H_i(C;G)$ позначає гомологічні групи із коефіцієнтами G (тобто гомологічні групи для ланцюгового комплекса $C\otimes G$), а $H^i(C;G)$ позначає відповідні когомологічні групи.

Для когомологічних груп

При вказаних вище позначеннях послідовність нижче є точною:

$$0\to \mathrm{Ext}(H_{i-1}(C),G)\to H^i(C;G)\to \mathrm{Hom}(H_i(C),G)\to 0$$

Послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Теорему і її доведення можна продовжити для одержання теореми Кюннета Шаблон:,.

Для гомологічних груп

У випадку гомології замість функтора Ext використовується функтор Tor. Послідовність нижче є точною:

$$0\to H_i(C)\otimes G\to H_i(C;G)\to \mathrm{Tor}(H_{i-1}(C),G)\to 0$$

Як і у випадку когомології ця послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Ненатуральність розщеплення

Ненатуральність розщеплення має важливі наслідки і є одною із перешкод для практичного застосування теореми. Для випадку гомологічних груп розщеплення послідовності осначає, що $H_i(C;G)\simeq H_i(C)\otimes G\oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(C),G)$ і при цьому у точній послідовності у твердженні теореми перше відображення є вкладення як перший доданок прямої суми, а друге відображення є проєкцією на другий доданок.

Ненатуральність такого розщеплення означає, що існують ланцюгові комплекси C і D і ланцюгове відображення f між ними, таке що при записах $H_i(C;G)\simeq H_i(C)\otimes G\oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(C),G)$ і $H_i(D;G)\simeq H_i(D)\otimes G\oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(D),G)$ індуковане відображення $f_{*}:H_i(C;G)\to H_i(D;G)$ не має вигляд $f_{*}(H_i(C;G))=f_{*}(H_i(C))\otimes G\oplus \mathrm{Tor}(f_{*}(H_{i-1}(C)),G).$

Для прикладу коли таке не відбувається розглянемо сингулярні гомології на дійсній проєктивній площині ${\mathbb{P}}^2(ℝ)$ і сфері. ${\mathbb{P}}^2(ℝ)$ можна розглядати як фактор-простір одиничної сфери щодо антиподального відображення $\varphi :(x,y)\mapsto (-x,-y)$. Зокрема існує канонічне вкладення $\psi :{\mathbb{P}}^2(ℝ)\to {𝕊}^2$ проективної площини у сферу.

• Сингулярні гомологія із коефіцієнтами $\mathbb{Z}$: для дійсної проективної площини $H_1({\mathbb{P}}^2(ℝ))=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними. Для сфери $H_2({𝕊}^2)=\mathbb{Z}$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними.
• Відображення $\psi$ породжує ланцюговий гомоморфізм між сингулярними ланцюговими комплексами і, як наслідок, гомоморфізм між гомологічними групами ${\psi }_{*}:H_{*}({\mathbb{P}}^2(ℝ))\to H_{*}({𝕊}^2),$, який є нульовим для всіх груп.
• Згідно теореми про універсальні коефіцієнти існує розклад $H_i(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\simeq H_i(X)\otimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus \mathrm{Tor}(H_{i-1}(X),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$
• Зокрема $H_2({\mathbb{P}}^2(ℝ);\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\simeq 0\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ і $H_2({𝕊}^2;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus 0$

Якби ці розклади були натуральними то гомоморфізм ${\psi }_{*,2}$ для гомологічних груп із коефіцієнтами $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ мав би бути нульовим оскільки ${\psi }_{*}(H_2({\mathbb{P}}^2(ℝ)))={\psi }_{*}(0)=0$ і ${\psi }_{*}(H_1({\mathbb{P}}^2(ℝ)))={\psi }_{*}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})=0$ (оскільки $H_{*}({𝕊}^2)=0$) то ж і $\mathrm{Tor}(H_{i-1}(X),\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})=0$.

Натомість пряме обчислення показує, що ${\psi }_{*,2}:H_2({\mathbb{P}}^2(ℝ);\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\to H_2({𝕊}^2;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ є ізоморфізмом, а не нульовим відображенням.

Доведення теореми

Доведення подано для випадку когомолії. Доведення у випадку гомології є подібним.

Нехай $(C_{\bullet },\delta )$ є коланцюговим комплексом вільних $Z$-модулів (вільних абелевих груп) і $Z_{\bullet }$ позначає його коцикли, а $B_{\bullet }$ його кограниці. Оскільки $Z_{\bullet }$ і $B_{\bullet }$ для кожного індекса є підгрупами вільної абелевої групи, то вони теж є вільними модулями. Розглянемо тепер дві точні послідовності:

$\begin{array}{cc}& 0\to Z_p\stackrel{i}{\to }{C}_p\stackrel{\partial }{\to }{B}_{p-1}\to 0\\ & 0\to B_p\stackrel{j}{\to }{Z}_p\stackrel{q}{\to }{H}_p(C)\to 0\end{array}$

Оскільки $B_{p-1}$ у першій з них є вільним модулем, то послідовність розщеплюється і тому можна підібрати відповідну проєкцію $f:C_{\bullet }\to Z_{\bullet }$, а також застосування функтора $\mathrm{Hom}(-,G)$ до цієї послідовності теж дає точні послідовність. У другій послідовності натомість $H_p(C)$ у загальному випадку не є вільною групою, тому після застосування функтора $\mathrm{Hom}(-,G)$ утворюється послідовність яка є лише точною зліва. Також друга точна послідовність є вільною резольвентою групи $H_p(C)$ тож за означенням функтора Ext можна записати $\mathrm{Ext}(H_p,G)\simeq \mathrm{Hom}(B_{p-1},G)/j^{*}(\mathrm{Hom}(Z_{p-1},G))$.

Також позначаючи $\delta :\mathrm{Hom}(C_p,G)\to \mathrm{Hom}(C_{p+1},G)$ — стандартне кограничне відображення у коланцюговому комплексі із означення цього відображення і попередніх відображеня можна записати $\delta ={\partial }^{*}\circ j^{*}\circ i^{*},$ де всі відображення ${\partial }^{*},j^{*},i^{*}$ є образами відповідних відображень у точних послідовностях вище при дії функтора $\mathrm{Hom}(-,G)$.

На основі всіх цих властивостей і означень можна побудувати комутативну діаграму:

$$\begin{array}{ccccccc}& & & & 0& & 0\\ & & & & \uparrow & & \downarrow \\ 0& \to & \mathrm{Hom}(H_p,G)& \stackrel{q^{*}}{\to }& \mathrm{Hom}(Z_p,G)& \stackrel{j^{*}}{\to }& \mathrm{Hom}(B_p,G)\\ & & & & f^{*}\downarrow \uparrow i^{*}& & \downarrow {\partial }^{*}\\ & & \mathrm{Hom}(C_{p-1},G)& \stackrel{\delta }{\to }& \mathrm{Hom}(C_p,G)& \stackrel{\delta }{\to }& \mathrm{Hom}(C_{p+1},G)\\ & & \downarrow i^{*}& & \uparrow {\partial }^{*}\\ & & \mathrm{Hom}(Z_{p-1},G)& \stackrel{j^{*}}{\to }& \mathrm{Hom}(B_{p-1},G)& \to & \mathrm{Ext}(H_p,G)& \to & 0\\ & & \downarrow & & \uparrow \\ & & 0& & 0\end{array}$$

За побудовою кожен стовпець і перший і третій рядки у цій діаграмі є точними послідовностями, а у другому рядку образ першого відображення загалом є лише підмножиною ядра другого.

Із першого рядка діаграми випливає, що $\mathrm{Hom}(H_p(C),G)$ можна ідентифікувати із $\ker j^{*}$. Також із ін'єктивності ${\partial }^{*}$ випливає, що $\alpha \in \mathrm{Hom}(C_p,G)$ є коциклом (тобто ($\delta (\alpha )=0$) тоді і тільки тоді коли $i^{*}(\alpha )\in \ker j^{*}.$ Тому одержується гомоморфізм $\mathrm{\Phi }$ із $Z^i(C;G)$ у $\mathrm{Hom}(H_p(C),G)$ (через ідентифікацію останньої із $\ker j^{*}$) і до того ж образ $f^{*}$ на діаграмі теж належить $Z^i(C;G)$, тож гомоморфізм $\mathrm{\Phi }$ є сюр'єктивним. Із точної послідовності у другому стовпці діаграми маємо, що ядром цього гомоморфізму є ${\partial }^{*}(\mathrm{Hom}(B_{p-1},G))$ адже ця множина є очевидно підмножиною $Z^i(C;G)$. Якщо при цьому елемент є кограницею, тобто $\alpha =\delta (\beta ),$ із комутативності діаграми також $\alpha ={\partial }^{*}\circ j^{*}\circ i^{*}(\beta )$ і тому $\alpha \in {\partial }^{*}(\mathrm{Hom}(B_{p-1},G))$, тож $\mathrm{\Phi }(\alpha )=0.$ Із загальних властивостей алгебричних структур випливає, що $\mathrm{\Phi }$ породжує гомоморфізм $\overline{\mathrm{\Phi }}:H^p(C;G)\to \mathrm{Hom}(H_p(C),G)$ і$\ker \left(\overline{\mathrm{\Phi }}\right)\simeq {\partial }^{*}(\mathrm{Hom}(B_{p-1},G))/\mathrm{Im}(\delta )\simeq \mathrm{Hom}(B_{p-1},G)/j^{*}(i^{*}(\mathrm{Hom}(C_{p-1},G))).$ Сюр'єктивність $i^{*}$ дозволяє ідентифікувати останню групу із $\mathrm{Hom}(B_{p-1},G)/j^{*}(\mathrm{Hom}(Z_{p-1},G))$ тобто $\mathrm{Ext}(H_p,G).$

Застосування

• Для всіх $\mathbb{Z}$-модулів $M$ справедливим є твердження $\mathrm{Tor}(M,\mathbb{Q})=0$. Тому із теореми про універсальні коефіцієнти $H_i(X;\mathbb{Z})\otimes \mathbb{Q}\simeq H_i(X;\mathbb{Q})$. Зокрема для дійсної проективної площини гомологія над $\mathbb{Q}$ є рівною гомології точки.
• Якщо $H_{i-1}(X;G)$ є вільною абелевою групою, то $H_i(X;G)\simeq H_i(X)\otimes G$.
• Для всіх скінченнопороджених абелевих груп $H$ виконується властивість $\mathrm{Ext}(H,\mathbb{Z})\simeq H_{\text{tors}}.$ Зокрема, якщо група $G$ є полем, то не існує кручення і як векторні простори $H_i\simeq H^i$.
• Якщо $X$ є CW-комплексом із скінченною кількістю клітин кожної розмірності то $H_i(X)$ є скінченнопородженими і можуть бути записаними як $H_i(X)\simeq {\mathbb{Z}}^{b_i}\oplus T_i$ де $T_i$ є підгрупою кручення і ранг $b_i$ називається $i$-им числом Бетті. Із використанням теореми про універсальні коефіцієнти можна показати, що $H^i(X)\simeq {\mathbb{Z}}^{b_i}\oplus T_{i-1}$.
• Із попереднього разом із двоїстістю Пуанкаре, де її можна застосувати (якщо $X$ є орієнтовним многовидом розмірності $n$ без границі), одержується рівність $b_i=b_{n-i}$.

Див. також

• Гомологія (математика)
• Когомологія
• Ланцюговий комплекс
• Функтор Ext
• Функтор Tor

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation