Ланцюгова гомотопія

Ланцюгова гомотопія — варіація поняття «гомотопія» в алгебраїчній топології і гомологічній алгебрі.

Означення

Нехай $X$ і $Y$ — ланцюгові комплекси модулів (тобто множина модулів $X_k,Y_k$ і модульних гомоморфізмів $d_X^k:X_k\to X_{k-1},d_Y^k:Y_k\to Y_{k-1}$), $f$ і $g$ — ланцюгові відображення комплексу $X$ в комплекс $Y$ (тобто такі гомоморфізми $f_k$ що $d_Y^k{f}_k=f_{k-1}{d}_X^k$).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $g$ називається множина гомоморфізмів $D_k:X_k\to Y_{k+1}$, для яких справедливими є рівності

$D_{k-1}{d}_X^k+d_Y^{k+1}{D}_k=f_k-g_k.$

Аналогічно можна ввести поняття ланцюгової гомотопії для коланцюгових комплексів $X$ і $Y.$ Якщо $f$ і $g$ — коланцюгові відображення комплексу $X$ в комплекс $Y$ (тобто такі гомоморфізми $f_k$ що $d_Y^k{f}_k=f_{k+1}{d}_X^k$).

Ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $g$ називається множина гомоморфізмів $D_k:X_k\to Y_{k-1}$, для яких справедливими є рівності

$D_{k+1}{d}_X^k+d_Y^{k-1}{D}_k=f_k-g_k.$

Діаграма для випадку коланцюгових комплексів зображена нижче:

Властивості

• Відношення ланцюгової гомотопії є відношенням еквівалентності на множині ланцюгових відображень (і також на множині коланцюгових відображень). Дійсно відображення $D_k=0$ є ланцюговою гомотопією, що забезпечує рефлексивність. Якщо відображення $D_k$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $f$ і $g$, то $-D_k$ є ланцюговою гомотопією між $g$ і $f$, що доводить симетричність відношення. Якщо $D_k$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $f$ і $g$, а $E_k$ є ланцюговою гомотопією між ланцюговими відображеннями $g$ і $h$, то $D_k+E_k$ є ланцюговою гомотопією між відображеннями $f$ і $h.$ Тобто відношення є також транзитивним і, як наслідок, відношенням еквівалентності. Клас еквівалентності ланцюгового відображення $f$ позначають $[f]$, еквівалентність відображеннь $f$ і $g$ позначається як $f\simeq g.$
• Якщо $X$, $Y$ і $Z$ — ланцюгові комплекси і $f_1,g_1:X\to Y,f_2,g_2:Y\to Z$ — ланцюгові відображення, такі що $f_1\simeq g_1,f_2\simeq g_2,$ то також $f_2\circ f_1\simeq g_2\circ g_1.$ Відповідно можна ввести добуток на класах ланцюгової гомотопії $[g]\circ [f]=[g\circ f].$ Якщо для ланцюгового відображення $f:X\to Y$ існує таке відображення $f^{\prime }:Y\to X,$ що $f^{\prime }\circ f\simeq {\mathrm{Id}}_X$ і $f\circ f^{\prime }\simeq {\mathrm{Id}}_Y$ то ланцюгові комплекси називаються гомотопно еквівалентними.

• Якщо відображення $f$ і $g$ є ланцюгово гомотопними, то індуковані відображення на гомологічних групах $H_k(X)\to H_k(Y)$ є рівними (де $H_k(X)=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}_X^k/\mathrm{I}\mathrm{m}{d}_X^{k+1}$). Справді, нехай $c\in X_k$ — цикл, тобто елемент з $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}{d}_X^k$. Тоді $d_X^k(c)=0$. Так як $f$ і $g$ є ланцюгово гомотопними, то

  $f_k(c)-g_k(c)=D_{k-1}{d}_X^k(c)+d_Y^{k+1}{D}_k(c)=d_Y^{k+1}{D}_k(c)$,

Тобто відрізняються на границю (елемент $\mathrm{I}\mathrm{m}{d}_Y^{k+1}$).

• Для більшості теорій гомологій гомотопні неперервні відображення топологічних просторів $f,g:X\to Y$ індукують ланцюгово гомотопні відображення комплексів $C(X)\to C(Y)$ і, по доведеному, однакові відображення груп гомологій $H(X)\to H(Y)$ (виконується аксіома гомотопічної інваріантності).

Див. також

• Ланцюговий комплекс

Література

• Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Москва: МЦНМО, 2005 Шаблон:Ref-ru
• Гельфанд С. И., Манин Ю. И. Методы гомологической алгебры. Введение в когомологии и производные категории. Том 1. — Москва: Наука, 1989 Шаблон:Ref-ru
• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Москва: Мир, 1976 Шаблон:Ref-ru
• Маклейн С. Гомология. — Москва: Мир, 1966 Шаблон:Ref-ru
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Москва: Мир, 1971 Шаблон:Ref-ru