Скалярний добуток

Шаблон:UniboxСкаля́рний добу́ток (Шаблон:Lang-en) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток геометричних векторів $\overrightarrow{x}$ та $\overrightarrow{y}$ обчислюється за формулою:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|\cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$

де $|\overrightarrow{x}|$ та $|\overrightarrow{y}|$ є довжинами векторів, а $\cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$ дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\overrightarrow{x}\overrightarrow{y}$.

Два означення добутку векторів:

• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини $\overrightarrow{x}$ на довжину проєкції $\overrightarrow{y}$ на $\overrightarrow{x}$).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів $x$ та $y$ позначають як $⟨x,y⟩$. Можлива і скорочена форма запису: $xy$. Також можливе позначення $x^{T}y$, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$    і   $\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$

в ортонормованому базисі $n$-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}:=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$.

В загальному випадку:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}:=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{g}_{ij}{y}_j=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$, де $g$ — елемент Матриці Грама

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ 8\\ 9\end{array}\right)=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36$,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

$||\overrightarrow{x}||=\sqrt{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}}$.

Якщо простір евклідів, то:

$||\overrightarrow{x}||=\sqrt{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}}=\sqrt{{x_1}^2+{x_2}^2+\dots +{x_n}^2}$.

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується така рівність:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|\cos \measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$.

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

$\measuredangle (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\arccos \frac{\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}}{\left|\overrightarrow{x}\right|\left|\overrightarrow{y}\right|}$.

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів

Для ${ℂ}^n$ векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in {ℂ}^n$ визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}:=\sum _{i=1}^n{x}_i\overline{y_i}=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}+\cdots +x_n\overline{y_n},$

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}:=\sum _{i=1}^n\overline{x_i}{y}_i=\overline{x_1}{y}_1+\overline{x_2}{y}_2+\cdots +\overline{x_n}{y}_n$.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{x}$, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\overline{\overrightarrow{y}\cdot \overrightarrow{x}}$.
• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
• Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
• В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора $A$ називається оператор $A^{*}$, для якого виконується рівність: $⟨A\cdot x,y⟩=⟨x,A^{*}\cdot y⟩$ для довільних $x$, $y$.

Узагальнене визначення

Якщо $L$ — лінійний простір над полем $𝒦$, а $\bar{L}$ — комплексно спряжений до $L$ то білінійне відображення $L\times L\to 𝒦$, або, при $𝒦=ℂ$ відображення $L\times \bar{L}\to 𝒦$ називається скалярним добутком.

• Скалярний добуток в дійсному векторному просторі $V$, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℝ$, тобто, для $x,y,z\in V$ та $\lambda \in ℝ$ виконуються такі умови:
  1. білінійність:
     • $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
     • $⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$
     • $⟨x,\lambda y⟩=\lambda ⟨x,y⟩=⟨\lambda x,y⟩$
  2. симетричність: $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$
  3. додатньовизначеність: $⟨x,x⟩\ge 0,$ та $⟨x,x⟩=0$ якщо $x=0$
• Скалярний добуток в комплексному векторному просторі $V$, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to ℂ$, тобто, для $x,y,z\in V$ і $\lambda \in ℂ$ виконуються такі умови:
  1. півторалінійність:
     • $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
     • $⟨x,y+z⟩=⟨x,y⟩+⟨x,z⟩$
     • $⟨\lambda x,y⟩=\lambda ⟨x,y⟩=⟨x,\overline{\lambda }y⟩$
  2. ермітовість: $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$
  3. додатньовизначеність: $⟨x,x⟩\ge 0$ і $⟨x,x⟩=0$, якщо $x=0$. (те, що $⟨x,x⟩$ дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

$⟨x,y⟩=x^{T}y=y^{T}x$,

де знаком ${}^T$ позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

$⟨x,y⟩=x^{*}y$,

де знаком ${}^{*}$ позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця $A$ визначає скалярний добуток:

$⟨x,y{⟩}_A=x^{T}Ay$;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця $A$ визначає скалярний добуток:

$⟨x,y{⟩}_A=x^{*}Ay$.

Див. також

• Ермітів скалярний добуток
• Векторний добуток
• Гільбертів простір

• Норма (математика)
• Нерівність Коші — Буняковського

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:УСЕ-4