Гармонічна функція

Функція $f:U\to ℝ$ визначена на $U\subset {ℝ}^n$ називається гармонічною в цій області, якщо f є двічі неперервно диференційовною і є розв’язком рівняння Лапласа:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}=0.$

Для позначення цього використовуються позначення $\mathrm{\Delta }f=0$ або ${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0.$

Властивості

• Якщо D — скінченна область і гармонічна функція $f\in C^1(\overline{D})$ тоді:

$\underset{S}{\int }\frac{\partial f}{\partial \nu }d\sigma =0.$

• Теорема про середнє значення: якщо f(x) — гармонічна функція у кулі B(x₀,r) радіуса r з центром $x_0$ і $f\in C^1(\overline{B})$ то її значення в центрі кулі дорівнює середньому арифметичному її значень на сфері S(x₀,r), тобто

$u(x_0)=\frac{1}{n{\omega }_n{r}^{n-1}}\underset{\partial B(x_0,r)}{\int }ud\sigma =\frac{1}{{\omega }_n{r}^n}\underset{B(x_0,r)}{\int }udy$

де ${\omega }_n$ — об'єм одиничної кулі в ${ℝ}^n$.

У припущенні неперервності f(x) ця властивість може бути прийнята як визначення гармонічної функції.

• Принцип екстремуму: якщо D — область в ${ℝ}^n$, що не містить усередині точки $\mathrm{\infty },$ f(x) — гармонічна функція у D, $f(x)\ne const$, то ні в якій точці $x_0\in D$ функція f(x) не може досягати локального екстремуму, тобто в будь-якому околі V(x₀) кожної точки $x_0\in D$ знайдеться точка $x^{*}\in V(x_0)$, у якій $f(x^{*})>f(x_0)$, і знайдеться точка $x^{*}\in V(x_0)$, у якій $f(x^{*})<f(x_0).$

Якщо, крім того, і $x\in C(\overline{D})$, то найбільше і найменше значення f(x) в замкнутій області $\overline{D}$ досягаються тільки в точках межі $\partial D$. Відповідно, якщо $|f(x)|\le M$ на $\partial D$, то $|f(x)|\le M$ на всій множині $\overline{D}$.

• Якщо f(x) — гармонічна функція у всьому просторі ${ℝ}^n,n\ge$ 2 обмежена зверху або знизу, то f(x)= const.(Теорема Ліувіля)

• Якщо f(x) — гармонічна функція у околі точки $x_0=((x_1{)}_0,\dots ,(x_n{)}_0),$ то f(x) розкладається в цьому околі у степеневий ряд за змінними $x_1-(x_1{)}_0,\dots ,x_n-(x_n{)}_0,$ тобто довільна гармонічна функція є аналітичною функцією і має часткові похідні всіх порядків, які в свою чергу є гармонічними функціями.

• Властивість єдиності: якщо f(x) — гармонічна функція у області $D\subset {ℝ}^n$ і $f(x)\equiv 0$ в деякому n-вимірному околі довільної точки $x_0\in D$ то $f(x)\equiv 0$ в D.

Якщо f(x) — аналітична функція дійсних змінних у області $D\subset {ℝ}^n$ і якщо в деякому n-вимірному околі точки $x_0\in D$ функція f(x) є гармонічною то вона є гармонічною в усій області D.

• Принцип симетрії: Нехай межа $\partial D$ області $D\subset {ℝ}^n$ містить відкриту в площині x_n=0 множину G, і f(x) — гармонічна функція у D і f(x) = 0 і неперервна усюди на G. Якщо $\hat{D}$ — область, симетрична з D відносно гіперплощини x_n=0 тоді f(x) гармонійно продовжується в область $D\cup G\cup \hat{D}$ за формулою:

$f(x_1,\dots ,x_{n-1},x_n)=-f(x_1,\dots ,x_{n-1},-x_n),(x_1,\dots ,x_{n-1},x_n)\in \hat{D}.$

• Перша теорема Гарнака: якщо послідовність $\{f_n(x)\}$ гармонічних функцій у обмеженій області D, неперервних в замкнутій області $\overline{D}$, є рівномірно збіжною на межі $\partial D$, то вона є рівномірно збіжною у D, причому гранична функція $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ є гармонічною функцією у D.

• Друга теорема Гарнака: якщо послідовність $\{f_n(x)\}$ гармонічних функцій в області D, є монотонною і збігається принаймні в одній точці $x_0\in D$, то вона збігається усюди в D і гранична функція $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ є гармонічною.

Див. також

• Бігармонічна функція
• Голоморфна функція
• Плюрігармонічна функція
• Рівняння Лапласа
• Субгармонічна функція

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Грищенко.ТФКЗ
• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950;
• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
• Sheldon Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey. Harmonic Function Theory Шаблон:Webarchive Springer, ISBN 978-0-387-95218-5