Розклад Шура

Розклад Шура — представлення квадратної матриці $A$ з комплексними коефіцієнтами у вигляді

A = U R U^{*},

Властивості

Очевидно, що матриця $R$ подібна до матриці $A$ , отже в них всі власні значення збігаються, а оскільки $R$ — трикутна, то вони знаходяться в неї на головній діагоналі.

Матриця $A$ буде нормальною тоді і тільки тоді, коли матриця $R$ в розкладі Шура буде діагональною. Отже для нормальних матриць спектральний розклад та розклад Шура збігаються.

Якщо квадратні матриці $A, B$ є переставними, то їх можна привести до трикутного вигляду одною унітарною матрицею:

\exists U, R_{1}, R_{2} : A = U R_{1} U^{*}, B = U R_{2} U^{*} .

ця властивість узагальнюється на довільну кількість попарно-переставних матриць.

Наслідком з попередньої властивості є одночасна діагоналізація переставних нормальних матриць (див. Переставні матриці).

Квадратні матриці $A, B$ можуть бути представлені у вигляді:

A = Q R_{1} Z^{*}, B = Q R_{2} Z^{*}

де

Q, Z

— унітарні матриці,

R_{1}, R_{2}

— верхні трикутні матриці.

Ще відомий під назвою QZ-розклад. Узагальнює сингулярний розклад матриці.