Розподіл Рейлі

Шаблон:Розподіл ймовірностей Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини $X$ із щільністю

$f(x;\sigma )=\frac{x}{{\sigma }^2}\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}),x⩾0,\sigma >0,$

де $\sigma$ — параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

$𝖯(X⩽x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(\xi )d\xi =1-\exp (-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}),x⩾0.$

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

Властивості

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

${\mu }_k={\sigma }^k{2}^{k/2}\mathrm{\Gamma }(1+k/2)$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — Гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

$\mu (X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi }{2}}\approx 1.253\sigma ,$

і

$\text{var}(X)=\frac{4-\pi }{2}{\sigma }^2\approx 0.429{\sigma }^2.$

Мода дорівнює $\sigma$, а максимум щільності

$f_{\text{max}}=f(\sigma ;\sigma )=\frac{1}{\sigma }\exp -\frac{1}{2}\approx \frac{0.606}{\sigma }$

Коефіцієнт асиметрії задається як:

${\gamma }_1=\frac{2\sqrt{\pi }(\pi -3)}{(4-\pi {)}^{3/2}}\approx 0.631.$

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

${\gamma }_2=-\frac{6{\pi }^2-24\pi +16}{(4-\pi {)}^2}\approx 0.245.$

Характеристична функція задається формулою:

$\phi (t)=1-\sigma t{e}^{-{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i)$

де $\mathrm{erfi}(z)$ — комплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

$M(t)=$

$1+\sigma t{e}^{{\sigma }^2{t}^2/2}\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\text{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1),$

де $\mathrm{erf}(z)$ — функція помилок.

Ентропія інформації

Ентропія інформації задається як

$H=1+\ln \left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma }{2}$

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Застосування

• У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за $X$ і $Y$, отримаємо вираз величини промаху у формі $R=\sqrt{X^2+Y^2}$. У цьому випадку величина $R$ має розподіл Релея.
• У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
• Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподілами

• Якщо $X$ і $Y$ — незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії ${\sigma }^2$, то випадкова величина $Z=\sqrt{X^2+Y^2}$ має розподіл Релея.
• Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини $X$ і $Y$ мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
• Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з $\sigma =1$ має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.

Див. також

• Розподіл хі-квадрат
• Розподіл Райса