Степінь трансцендентності

Степінь трансцендентності розширення поля $L/K$ це найбільша потужність підмножини поля $L$, що є алгебраїчно незалежною щодо поля $K$.

Розширення $L/K$ є трансцендентним тоді й лише тоді, коли поле $L$ містить елементи, трансцендентні над $K$, тобто елементи, що не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з коефіцієнтами з $K$.

Відповідно розширення є алгебричним тоді й лише тоді коли його степінь трансцендентності рівний нулю.

Якщо $X$ — максимальна множина, всі елементи якої алгебраїчно незалежні, то $X$ називається базисом трансцендентності поля $L$ над $K$. Усі базиси трансцендентності мають однакову потужність, що рівна степеню трансцендентності розширення.

Для полів $M\supset L\supset K$ степінь трансцендентності $M/K$ рівний сумі степенів трансцендентності $M/L$ та $L/K$. Якщо всі елементи множини $X$ алгебраїчно незалежні, то розширення до $K(X)$ називається чисто трансцендентним. В цьому випадку поле $K(X)$ ізоморфне полю раціональних функцій від множини змінних $X$ над $K$.

Приклади

• Поле раціональних функцій n змінних K(x₁,...,x_n) є чисто трансцендентним розширенням поля K степінь трансцендентності якого рівний n; за базис трансцендентності можна, наприклад взяти множину {x₁,...,x_n}.
• Степінь трансцендентності поля мероморфних функцій визначених у компактній рімановій поверхні рівний 1 над полем комплексних чисел.
• Степінь трансцендентності поля $Q(\sqrt{2},\pi )$ над $\mathbb{Q}$ рівний 1, оскільки $\sqrt{2}$ є алгебричним числом, а π — трансцендентним.
• Степінь трансцендентності поля $ℂ$ чи $ℝ$ над $\mathbb{Q}$ рівний потужності континуум.

Джерела

• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1
• Шаблон:Бурбаки.Алгебра.ч2