Функція sinc

Графіки нормованої sinc-функції (синій) та ненормованої sinc-функції (червоний) на відрізку значень x від −6π до 6π.

Sinc-функція, що позначається $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$, (від Шаблон:Lang-lat — кардинальний синус) має два визначення, відповідно для нормованої sinc-функції і ненормованої sinc-функції:

1. У цифровій обробці сигналів і теорії зв'язку нормована sinc-функція звичайно визначається як

   $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{\sin \left(\pi x\right)}{\pi x}& ;& x\ne 0\\ 1& ;& x=0\end{array}$

2. У математиці ненормована sinc-функція визначається як

   $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}\frac{\sin \left(x\right)}{x}& ;& x\ne 0\\ 1& ;& x=0\end{array}$

У обох випадках значення функції в особливій точці $x=0$ явним чином задається рівним одиниці. Таким чином, sinc-функція аналітична для будь-якого значення аргументу.

Властивості

• Для ненормованої sinc-функції :

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(0)=1$ і $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(k)=0$ для $k\ne 0$ і $k\in \mathbb{Z},$ (цілі числа); тобто, це інтерполююча функція

Для ненормованої функції

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(0)=1$ і $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(k\pi )=0$ для $k\ne 0$ і $k\in \mathbb{Z},$ (цілі числа);

• функції $x_k(t)=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t-k)$ формують ортонормований базис для функцій в функціональному просторі $L^2(ℝ)$, з найбільшою кутовою частотою ${\omega }_{\mathrm{H}}=\pi$.

• Локальні максимум і мінімум ненормованої sinc-функції $\begin{array}{c}\frac{\sin (x)}{x}\end{array}$ збігаються із значеннями косинуса, тобто там, де похідна $\begin{array}{c}\frac{\sin (x)}{x}\end{array}$ рівна нулю (локальний екстремум в точці $x=a$), виконується умова $\begin{array}{c}\frac{\sin (a)}{a}\end{array}=\cos (a)$.

• Ненормована sinc-функція є сферичною функцією Бесселя першого роду нульового порядку $j_0(x)=\begin{array}{c}\frac{\sin (x)}{x}\end{array}$. Нормована sinc-функція - $j_0(\pi x)$.

• $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin (\theta )}{\theta }d\theta =\mathrm{S}\mathrm{i}(x)$

де Si(x) — інтегральний синус.

• λ sinc(λ x) (для ненормалізованого випадку) є одним із двох лінійно незалежних розв'язків диференціального рівняння:

$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2\frac{dy}{dx}+{\lambda }^{2}xy=0.$

Іншим є cos(λ x)/x.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\theta }^2}d\theta =\pi$.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^3(\theta )}{{\theta }^3}d\theta =\frac{3\pi }{4}$

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^4(\theta )}{{\theta }^4}d\theta =\frac{2\pi }{3}$

• Перетворення Фур'є нормованої sinc-функції $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\begin{array}{c}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\end{array}$ (для одиничного інтервалу частот) рівне прямокутній функції $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)e^{-2\pi ift}dt=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(f)$,

де прямокутна функція — функція, що приймає значення, рівні 1 для будь-якого аргументу з інтервалу між `1/2 і 1/2, і рівна нулю при будь-якому іншому значенні аргументу.

• Розклад нормованої Sinc-функції у нескінченний добуток:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

• Розклад ненормованої Sinc-функції у нескінченний добуток

$\frac{\sin (x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right).$

• Вираз через гамма-функцію:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}$

де $\mathrm{\Gamma }(x)$ — гамма-функція

Посилання

• Шаблон:MathWorld