Інтегральний синус

Графіки функцій Si(x) і Ci(x) на проміжку [0, 8π]

Інтегральний синус — функція, визначена формулою:

$\mathrm{Si}x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt$

Визначається також функція: $\mathrm{si}x=-\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=\mathrm{Si}x-\frac{\pi }{2}$

Часткові значення: $\mathrm{Si}0=0,\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\mathrm{Si}x=\frac{\pi }{2},\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to \mathrm{\infty }}\mathrm{si}x=0$.

Інтегральний синус було введено Шаблон:Нп в 1790 році.

Властивості

• Інтегральний синус — непарна функція:

$\mathrm{Si}(-x)=-\mathrm{Si}x$

• $\mathrm{si}x+\mathrm{si}(-x)=-\pi$
• Інтегральний синус пов'язаний з інтегральною показниковою функцією співвідношенням:

$\mathrm{si}x=\frac{1}{2i}(\mathrm{Ei}(ix)-\mathrm{Ei}(-ix))$

• Для малих x $\mathrm{Si}x\approx x$
• З деякими іншими функціями інтегральний синус пов'язаний співвідношеннями:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{pt}\mathrm{si}(qt)dt=-\frac{1}{p}\mathrm{arctg}\frac{p}{q},\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{si}}^{2}tdt=\frac{\pi }{2},$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin t\mathrm{si}tdt=-\frac{\pi }{4},\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{Ci}t\mathrm{si}tdt=-\ln 2.$

• Інтегральний синус задовольняє лінійне диференційне рівняння третього порядку

$x{f}^{‴}(x)+2f^{″}(x)+x{f}^{\prime }(x)=0.$

Розклад у ряд

Інтегральний синус можна розкласти в ряд:

$\mathrm{Si}x=x-\frac{x^3}{3\cdot 3!}+\frac{x^5}{5\cdot 5!}-\frac{x^7}{7\cdot 7!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!(2n+1)}{x}^{2n+1}.$

За допомогою даного ряду визначається також інтегральний синус від комплексного аргументу.

Асимптотичний розклад для $\mathrm{Re}x\gg 1$ задається розбіжним рядом:

$\mathrm{Si}x=\frac{\pi }{2}-\frac{\cos x}{x}(1-\frac{2!}{x^2}+...)-\frac{\sin x}{x}(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+...)$

Див. також

• Інтегральний косинус
• Інтегральний логарифм
• Інтегральна показникова функція

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.