Диференціальна форма

Диференціальна форма порядку $k$ або $k$-форма — кососиметричне тензорне поле типу $(0,k)$ на дотичному розшаруванні многовиду.

Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття.

Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля.

Простір $k$-форм на многовиді $M$ звичайно позначають ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$.

Визначення

Інваріантне

У диференціальній геометрії, диференціальна форма степеня $k$ — це гладкий перетин $k$-го зовнішнього степеня кодотичного розшарування многовиду.

Нехай M — гладкий многовид, T_pM — дотичний простір многовиду M в точці p, T^*_pM — кодотичний простір многовиду M в точці p.

Позначмо ${\mathrm{\Lambda }}^k(T_p^{*}M)$ — векторний простір знакозмінних, лінійних за всіма елементами відображень виду:

$\beta :T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M\to ℝ$

Тоді диференціальна k-форма $\omega$ — це відображення:

$\omega :p\to {\mathrm{\Lambda }}^k(T_p^{*}M)$

в довільній точці p∈M, при чому

$\omega (p)(V_1(p),\dots ,V_k(p))\in C^{\mathrm{\infty }}(M,ℝ),$

де $V_1(p),\dots ,V_k(p)$ — довільні гладкі векторні поля.

Іноді у визначенні диференціальних форм не вимагається гладкості. Форми, що задовольняють ці додаткові умови, називають тоді гладкими диференціальними формами.

Через локальні карти

Якщо $(x_1,...,x_n)$ — локальна система координат в області $U\in M$, то форми $d{x}_1,...,d{x}_n$ утворюють базис у кодотичному просторі $T_X^{*}M$. Тому будь-яка зовнішня k-форма записується в U у вигляді

$\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}{f}_{i_1{i}_2\dots i_k}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_{i_1}\wedge d{x}_{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

де $f_{i_1{i}_2\dots i_k}$ — гладкі функції $d{x}^i$ — диференціал $i$-ї координати $x^i$ (функція від вектора, що визначає його координату з номером $i$ ), а $\wedge$ — зовнішній добуток. При зміні координат, це подання змінюється.

На гладкому многовиді, k-форми може бути визначено як форми на картах, які узгоджено на склеюваннях.

Пов'язані визначення

Зовнішня похідна

Лінійне відображення $d:{\mathrm{\Omega }}^k(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{k+1}(M)$ називається зовнішньою похідною якщо:

1. Для $p=0$ воно збігається зі звичайним диференціалом функції;
2. $d({\omega }^k\wedge {\omega }^p)=(d{\omega }^k)\wedge {\omega }^p+(-1{)}^k{\omega }^k\wedge (d{\omega }^p)$
3. Для будь-якої форми виконується рівність $d(d\omega )=0$.

Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним. У локальних координатах зовнішній диференціал форми $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^k(M)$можна записати за допомогою формули:

• $d\omega =\sum _{1⩽i_1<i_2<\dots <i_k⩽n}\sum _{1⩽j⩽n}\frac{\partial f_{i_1{i}_2\dots i_k}}{\partial x^j}(x_1,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge d{x}_{i_1}\wedge d{x}_{i_2}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

• Диференціальна форма називається замкненою, якщо її зовнішня похідна дорівнює 0.
• k-форма називається точною, якщо її можливо представити як диференціал деякої (k-1)-форми.
• Факторгрупа $H_{dR}^k={\overline{\mathrm{\Omega }}}_k/d{\mathrm{\Omega }}_{k-1}$ замкнених k-форм по точних k-формах називається $k$-мірною групою когомологій де Рама. Теорема де Рама стверджує, що вона ізоморфна k-мірній групі сингулярних когомологій.
• Внутрішньою похідною форми $\omega$ по векторному полю $𝐯$ називається форма

$i_{𝐯}\omega (u_1,\dots u_{n-1})=\omega (𝐯,u_1,\dots ,u_{n-1})$

Властивості

• Для диференціалів диференціальних форм ${\omega }_F$ векторного поля $F$ справедливо:

$d(d{\omega }_F)=0$

$d({\omega }_F^0)={\omega }_{\mathrm{\nabla }F}^1$

$d({\omega }_F^1)={\omega }_{rotF}^2$

$d({\omega }_F^2)={\omega }_{divF}^3$

$d({\omega }_F^3)={\omega }_{L2F}^4$

• Диференціальну форму можна розглядати як поле полілінійних кососиметричних функцій від $k$ векторів.

• Внутрішнє диференціювання є лінійним і задовольняє градуйованому правилу Лейбніца. Воно пов'язане із зовнішнім диференціюванням і похідною Лі формулою гомотопії:

  $d{i}_{𝐯}+i_{𝐯}d=L_{𝐯}$

Алгебраїчні операції

Диференціальні форми порядку $k$, задані у диференціальному многовиді $M$, утворюють модуль ${\mathrm{\Omega }}^k(M)$ над кільцем $C^{\mathrm{\infty }}(M)$. Зокрема для диференціальних форм порядку $k$ визначено додавання і множення на функцію :

$(\alpha +\beta {)}_x(v_1,\dots ,v_k)={\alpha }_x(v_1,\dots ,v_k)+{\beta }_x(v_1,\dots ,v_k)$ ; $(f\alpha {)}_x(v_1,\dots ,v_k)=f(x)\cdot {\alpha }_x(v_1,\dots ,v_k)$.

Зовнішній добуток

Зовнішній добуток форм

$\alpha$

і

$\beta$

порядків

$k$

і

$q$

визначається за допомогою наступної формули :

$(\alpha \wedge \beta {)}_x(v_1,\dots ,v_{k+q})=\frac{1}{k!q!}\sum \epsilon (\sigma )\cdot {\alpha }_x(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})\cdot {\beta }_x(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+q)})$,

де

$\epsilon (\sigma )$

позначає знак перестановки

$\sigma$

і сума береться по всіх перестановках

$\sigma$

чисел

$[1,k+q]$

. Результатом добутку є диференціальна форма порядку

$k+q$

.

З визначеними алгебраїчними операціями множина $\mathrm{\Omega }(M)=\oplus {\mathrm{\Omega }}^k(M)$, є градуйованою алгеброю, що задовольняє градуйованому закону комутативності: для форм $\alpha$ і $\beta$ порядків $k$ і $q$, Виконується

$\alpha \wedge \beta =(-1{)}^{kq}\beta \wedge \alpha$.

Зворотний образ

Якщо відображення $f:M\to N$ є гладким, $\alpha$ — диференціальна форма порядку $k$ на многовиді $N$, тоді можна визначити диференціальну форму $f^{*}\alpha$ порядку $k$ визначену на $M$:

$(f^{*}\alpha {)}_x(v_1,\dots ,v_k)={\alpha }_{f(x)}(\mathrm{d}{f}_x(v_1),\dots ,\mathrm{d}{f}_x(v_k))$.

Дане відображення задовольняє рівностям:

• $f^{*}(\alpha +\beta )=f^{*}(\alpha )+f^{*}(\beta )$
• $f^{*}(g\cdot \alpha )=(g\circ f)\cdot f^{*}(\alpha )$
• $f^{*}(\alpha \wedge \beta )=f^{*}(\alpha )\wedge f^{*}(\beta )$

де $\alpha ,\beta$ — диференціальні форми на N, а g — функція визначена на N.

Отже, відображення $f^{*}:\mathrm{\Omega }(N)\to \mathrm{\Omega }(M)$ визначає гомоморфізм градуйованих алгебр.

Дане відображення також можна записати у локальних координатах. Нехай x₁, …, x_m — координати на M, that y₁, …, y_n — координати на N, і ці координати пов'язані рівностями y_i = f_i(x₁, …, x_m) для всіх i. Тоді, локально на N, ω можна записати як

$\omega =\sum _{i_1<\cdots <i_k}{\omega }_{i_1\cdots i_k}d{y}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{y}_{i_k},$

де для довільного вибору i₁, …, i_k, ${\omega }_{i_1\cdots i_k}$ — дійсна функція змінних y₁, …, y_n. З властивостей зворотного образу одержується формула для f^*ω :

$f^{*}\omega =\sum _{i_1<\cdots <i_k}({\omega }_{i_1\cdots i_k}\circ f)d{f}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{f}_{i_n}.$

Кожну зовнішню похідну df_i може бути записано в термінах dx₁, …, dx_m. Відповідну k-форму може бути записано за допомогою матриці Якобі:

$f^{*}\omega =\sum _{i_1<\cdots <i_k}\sum _{j_1<\cdots <j_k}({\omega }_{i_1\cdots i_k}\circ f)\frac{\partial (f_{i_1},\dots ,f_{i_k})}{\partial (x_{j_1},\dots ,x_{j_k})}d{x}_{j_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{j_k}.$

Інтегрування

Нехай

$\omega =\sum a_{i_1,\dots ,i_k}(𝐱)d{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{i_k}$

диференціальна форма і S — диференційовний многовид параметризований в деякій області $D\in {ℝ}^n$:

$S(𝐮)=(x_1(𝐮),\dots ,x_n(𝐮))$. Тоді можна визначити інтеграл:

$\underset{S}{\int }\omega =\underset{D}{\int }\sum a_{i_1,\dots ,i_k}(S(𝐮))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}{\partial (u_1,\dots ,u_k)}d{u}_1\dots d{u}_k$

де

$\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}{\partial (u_1,\dots ,u_k)}$ — визначник матриці Якобі.

Теорема Стокса

Теорема Стокса є основою для більшості застосувань диференціальних форм:

Якщо $\omega$ — n−1-форма з компактним носієм у M і ∂M границя многовиду M з індукованою орієнтацією, то виконується рівність:

$\underset{M}{\int }d\omega ={\oint }_{\partial M}\omega .$

Частковими випадками цієї загальної теореми є основна теорема аналізу, теорема Гауса — Остроградського, теорема Гріна і звичайна теорема Стокса про зв'язок лінійного і поверхневого інтегралів.

Диференціальні форми в електромагнетизмі

Максвеллівська електродинаміка вельми елегантно формулюється мовою диференціальних форм в 4-вимірному просторі-часі. Розглянемо 2-форму Фарадея, що відповідає тензору електромагнітного поля:

$\mathbf{\text{F}}=\frac{1}{2}{F}_{ab}\mathrm{d}{x}^a\wedge \mathrm{d}{x}^b.$

Ця форма є формою кривини тривіального головного розшарування зі структурною групою U (1), за допомогою якого може бути описано класичну електродинаміку та калібрувальну теорію. 3-форма струму, дуальна до 4-вектору струму, має вигляд

$\mathbf{\text{J}}=J^a{\epsilon }_{abcd}\mathrm{d}{x}^b\wedge \mathrm{d}{x}^c\wedge \mathrm{d}{x}^d.$

У цих позначеннях рівняння Максвелла може бути дуже компактно записано як

$\mathrm{d}\mathbf{\text{F}}=\mathbf{\text{0}}$,

$\mathrm{d}*\mathbf{\text{F}}=\mathbf{\text{J}}$,

де $*$ — оператор зірки Годжа. Подібним чином може бути описано геометрію загальної калібрувальної теорії.

2-форма $*𝐅$ також називається 2-формою Максвелла.

Приклади

• З погляду тензорного аналізу, 1-форма є не що інше як ковекторне поле, тобто 1 раз коваріантний тензор, заданий в кожній точці $p$ многовиду $M$ і що відображає елементи дотичного простору $T_p(M)$ у множину дійсних чисел $ℝ$:

  $\omega (p):T_p(M)\to ℝ$

• Форма об'єму — приклад $n$-форми на $n$-мірному многовиді.
• Симплектична форма — замкнена 2-форма $\omega$ на $2n$-многовиді, така що ${\omega }^n=0$.

Див. також

• Зовнішня алгебра
• Зовнішній добуток
• Когомологія де Рама
• Тангенціальнозначна форма

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
• Шаблон:Rudin.Principles of Mathematical Analysis
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.
• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Mineola, NY: Dover Publications, ISBN 0-486-66169-5
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, AMS, ISBN 0-8218-1045-6
• Weintraub, Steven (1997), Differential forms : a complement to vector calculus,Academic Press, Inc. ISBN 0-12-742510-1