Мартингал

Шаблон:Otheruses Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часом

• Послідовність випадкових величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N}$;
2. $𝖤[X_{n+1}\mid X_1,\dots ,X_n]=X_n,n\in \mathbb{N}$.

• Нехай задана також інша послідовність мартингалів $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ називається мартингалом відносно $\{Y_n\}$ або $\{Y_n\}$-мартингалом, якщо

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N}$;
2. $𝖤[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]=X_n,n\in \mathbb{N}$.

• Найбільш загально нехай $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ — ймовірнісний простір і $\{{ℱ}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ називається мартингалом, якщо виконуються умови:

1. Процес $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ є узгодженим з фільтрацією $\{{ℱ}_n{\}}_{n\in N}$.
2. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N}$;
3. $𝖤[X_{n+1}\mid {ℱ}_n]=X_n,n\in \mathbb{N}$.

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

$𝖤[X_n\mid {ℱ}_m]=X_m$.

Мартингали з неперервним часом

Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ з заданою на ньому фільтрацією $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$, де $T\subset ℝ$. Тоді випадковий процес $\{X_t{\}}_{t\in T}$ називається мартингалом відносно $\{{ℱ}_t\}$, якщо

1. $X_t$ вимірна відносно ${ℱ}_t$ для довільного $t\in T$.
2. $𝖤|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $𝖤[X_t\mid {ℱ}_s]=X_s,\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Якщо як $\{{ℱ}_t\}$ взята природна фільтрація ${ℱ}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингали

• Нехай задана послідовність випадкових величин $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. Тоді послідовність випадкових величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ називається су́б(су́пер)мартингалом відносно $\{Y_n\}$, якщо

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N};$
2. $𝖤[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]\ge (\le )X_n,n\in \mathbb{N}.$

• Випадковий процес $\{X_t{\}}_{t\in T},T\subset ℝ$ називається суб(супер)мартингалом відносно $\{{ℱ}_t\}$, якщо

1. $X_t$ вимірна відносно ${ℱ}_t$ для довільного $t\in T$.
2. $𝖤|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $𝖤[X_t\mid {ℱ}_s]\ge (\le )X_s,\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Якщо як $\{{ℱ}_t\}$ взята природна фільтрація ${ℱ}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ називається просто суб(супер)мартингалом.

Властивості

• Якщо $\{X_t\}$ — мартингал, то $𝖤X_t=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.
• Якщо $\{X_t\}$ — субмартингал, то $\{-X_t\}$ — супермартингал.
• Якщо $\{X_t\}$ є мартингалом, а $f:ℝ\to ℝ$ — опукла функція, то $\{f(X_t)\}$ — субмартингал. Якщо $f$ — вгнута функція, то $\{f(X_t)\}$ — супермартингал.

Приклади

• Вінерівський процес є мартингалом.
• Якщо { N_t : t ≥ 0 } є Пуассонівським процесом з параметроом λ, тоді випадковий процес { N_t − λt : t ≥ 0 } є мартингалом з неперервним часом.
• Мартингал Дуба
• Мартингал де Муавра

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов
• G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6