*-алгебра

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце

(x + y)^{*} = x^{*} + y^{*}

(x y)^{*} = y^{*} x^{*}

1^{*} = 1

(x^{*})^{*} = x .

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в $R \subset A .$

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

(λ x + μ y)^{*} = λ^{*} x^{*} + μ^{*} y^{*} λ, μ \in R; x, y \in A

.

*-гомоморфізм $f : A \to B$ є Шаблон:Li що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

f (x^{*}) = f (x)^{*} \forall x \in A .

Елементи для яких $x^{*} = x$ називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
Елементи для яких $x^{*} = - x$ називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді $ϕ (x, y) = x^{*} \cdot y$ .

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

‖ x^{*} x ‖ = ‖ x ‖ ‖ x^{*} ‖,

‖ x x^{*} ‖ = ‖ x ‖ ‖ x^{*} ‖ .

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

‖ x x^{*} ‖ = ‖ x ‖^{2} .

Найвідомішим прикладом є комплексні числа $ℂ$ з операцією спряження.
За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октоніони.
Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження.
Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді $\frac{1}{2} (1 - *)$ та $\frac{1}{2} (1 + *)$ є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.