Інтеграл Лебега

Шаблон:UniboxШаблон:Числення Інтеграл Лебега — це узагальнення інтеграла Рімана на більш широкий клас функцій. Всі функції, визначені на скінченному відрізку числової прямої і інтегровні за Ріманом, є також інтегровні за Лебегом, причому в такому випадку обидва інтеграли збігаються. Однак, існує великий клас функцій, визначених на відрізку і інтегровних за Лебегом, але не інтегровних за Ріманом. Також інтеграл Лебега може застосовуватися до функцій, заданих на довільних множинах.

Ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що замість розбиття області визначення підінтегральної функції на частини і написання потім інтегральної суми із значень функції на цих частинах, на інтервали розбивають її область значень, а потім сумують з відповідними мірами міри прообразів цих інтервалів.

Означення

Інтеграл Лебега визначають індуктивно, переходячи від простіших функцій до складних. Будем вважати, що дано простір з мірою $(X,ℱ,\mu )$, і на ньому визначена вимірна функція $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$.

Означення 1. Нехай $f$ — індикатор деякої вимірної множини $f(x)={\mathrm{𝟏}}_A(x)$, де $A\in ℱ$. Тоді інтеграл Лебега функції $f$ за означенням:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)\equiv \underset{X}{\int }fd\mu =\mu (A).$

Означення 2. Нехай $f$ — проста функція $f(x)=\sum _{i=1}^n{f}_i{\mathrm{𝟏}}_{F_i}(x)$, де $\{f_i{\}}_{i=1}^n\subset ℝ$, а $\{F_i{\}}_{i=1}^n\subset ℱ$ — скінченне розбиття $X$ на вимірні множини. Тоді

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\sum _{i=1}^n{f}_i\mu (F_i)$.

Означення 3. Нехай тепер $f$ — невід’ємна функція, тобто $f(x)\ge 0\mathrm{\forall }x\in X$. Розглянемо всі прості функції $\{f_s\}$, такі ,що $f_s(x)\le f(x)\mathrm{\forall }x\in X$. Позначимо це сімейство ${𝒫}_f$. Для кожної функції із цього сімейства уже визначений інтеграл Лебега. Тоді інтеграл від $f$ задається формулою:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\sup \{\underset{X}{\int }{f}_s(x)\mu (dx)|f_s\in {𝒫}_f\}$

Нарешті, якщо функція $f$ довільного знаку, то її можна представити у вигляді різниці двох невід’ємних функцій. Дійсно, легко бачити, що:

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

де

$f^{+}(x)=\max (f(x),0),f^{-}(x)=-\min (0,f(x))$.

Означення 4. Нехай $f$ — довільна вимірна функція. Тоді її інтеграл задаєтся формулою:

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }{f}^{+}(x)\mu (dx)-\underset{X}{\int }{f}^{-}(x)\mu (dx)$.

Означення 5. Нехай нарешті $A\in ℱ$ довільна вимірна множина. Тоді за означенням

$\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }f(x){\mathrm{𝟏}}_A(x)\mu (dx)$,

де ${\mathrm{𝟏}}_A(x)$ — індикатор-функція множини $A$.

Приклад

Розглянемо функцію Діріхле $f(x)\equiv {\mathrm{𝟏}}_{{\mathbb{Q}}_{[0,1]}}(x)$, задану на $[0,1]$. Ця функція набуває значення $1$ у раціональних точках і $0$ — в ірраціональних. Легко побачити, що $f$ не інтегровна в сенсі Рімана. Однак, на просторі зі скінченною мірою $(ℬ([0,1]),m)$, де $ℬ([0,1])$ — борелівська σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — міра Лебега, вона є простою функцією, бо набуває тільки двох значень, а тому її інтеграл Лебега визначений і дорівнює:

$\underset{[0,1]}{\int }f(x)m(dx)=1\cdot m({\mathbb{Q}}_{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus {\mathbb{Q}}_{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Справді, міра відрізка $[0,1]$ дорівнює $1$. Оскільки множина раціональних чисел зліченна, то її міра $m({\mathbb{Q}}_{[0,1]})$ дорівнює $0$. Значить міра ірраціональних чисел $m([0,1]\setminus {\mathbb{Q}}_{[0,1]})$ дорівнює $1-0=1$.

Зауваження

• Так оскільки $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, то вимірна функція $f(x)$ інтегровна за Лебегом тоді й тільки тоді, коли функція $|f(x)|$ інтегровна за Лебегом. Ця властивість не виконується для інтеграла Рімана;
• Залежно від вибору простору, міри і функції, інтеграл може бути скінченним чи нескінченним. Якщо інтеграл функції скінченний, то функція називається інтегровною за Лебегом.
• Якщо функція визначена на ймовірнісному просторі $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ і вимірна, то вона називається випадковою величиною, а її інтеграл називають математичним сподіванням чи середнім. Випадкова величина інтегровна, якщо вона має скінченне математичне сподівання.

Найпростіші властивості інтеграла Лебега

• Інтеграл Лебега лінійний, тобто

$\underset{X}{\int }[af(x)+bg(x)]\mu (dx)=a\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)+b\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$,

де $a,b\in ℝ$ — довільні константи;

• Інтеграл Лебега зберігає нерівності, тобто якщо $0\le f(x)\le g(x)$ майже скрізь, і $g(x)$ інтегровна, то інтегровна і $f(x)$, і більш того

$0\le \underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)\le \underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$;

• Інтеграл Лебега не залежить від поведінки функції на множині міри нуль, тобто якщо $f(x)=g(x)$ майже скрізь, то

$\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }g(x)\mu (dx)$.

Збіжність інтегралів Лебега від послідовностей функцій

• Теорема Леві про монотонну збіжність;
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність;
• Інтеграл Бохнера;
• Лема Фату.

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Колмогоров.Фомин