Теореми про ізоморфізми

Матеріал з testwiki
Версія від 17:11, 16 січня 2023, створена imported>Zviribot (Cat-a-lot: Moving from Category:Теореми to Category:Математичні теореми за допомогою Cat-a-lot)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теореми про ізоморфізми — це три теореми в абстрактній алгебрі, що описують зв'язок між гомоморфізмами, фактор-множинами і під-об'єктами.

Існують версії цих теорем для груп, кілець, модулів, векторних просторів, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур. В універсальній алгебрі ці теореми узагальнюються через алгебри довільної сигнатури і конгруенції.

Групи

Перша теорема

Якщо φ:G→H гомоморфізм груп, тоді:

  1. Ядро φ є нормальною підгрупою в G;
  2. Образ φ є підгрупою в H;
  3. Образ φ є ізоморфним до фактор-групи G/ker⁡φ.

Друга теорема

Якщо G — група, S — підгрупа в G, N — нормальна підгрупа в G, тоді:

  1. Добуток SN є підгрупою в G;
  2. Перетин S∩N є нормальною підгрупою в S;
  3. Фактор-групи (SN)/N та S/(S∩N) є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо G — група, N, K — нормальні підгрупи в G, такі що K⊆N, тоді:

  1. N/K є нормальною підгрупою в G/K;
  2. Фактор-група G/K/N/K ізоморфна до G/N.

Кільця

Зміст теорем для кілець є подібним, але поняття нормальної підгрупи замінюється на ідеалом кільця.

Перша теорема

Якщо φ:R→S гомоморфізм кілець, тоді:

  1. Ядро φ є ідеалом в R;
  2. Образ φ є підкільцем в S;
  3. Образ φ є ізоморфним до фактор-кільця R/ker⁡φ.

Друга теорема

Якщо R — кільце, S — підкільце в R, I — ідеал в R, тоді:

  1. Сума S+I є підкільцем в R;
  2. Перетин S∩I є ідеалом в R;
  3. Фактор-кільця (S+I)/I та S/(S∩I) є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо R — кільце, A, B — ідеали R, такі що B⊆A, тоді:

  1. A/B є ідеалом в R/B;
  2. Фактор-кільце R/B/A/B ізоморфно до R/A.

Модулі

Теореми про ізоморфізм для векторних просторів та абелевих груп є частковим випадком теорем для модулів. Для векторних просторів детальніше див. Ядро та образ лінійного оператора.

Перша теорема

Якщо φ:M→N гомоморфізм модулів, тоді:

  1. Ядро φ є підмодулем в M;
  2. Образ φ є підмодулем в N;
  3. Образ φ є ізоморфним до фактор-модуля M/ker⁡φ.

Друга теорема

Якщо M — модуль, S, T — підмодулі в M, тоді:

  1. Сума S+T є підмодулем в M;
  2. Перетин S∩T є підмодулем в M;
  3. Фактор-модулі (S+T)/T та S/(S∩T) є ізоморфними.

Третя теорема

Якщо M — модуль, S, T — підмодулі в M, такі що T⊆S, тоді:

  1. S/T є підмодулем в M/T;
  2. Фактор-множина M/T/S/T ізоморфна до M/S.

Див. також

Джерела

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Теореми_про_ізоморфізми&oldid=2608