Функція Гаусса

Нормована Гауссова крива з математичним сподіванням μ і дисперсією σ². Відповідні параметри є a = 1/(σ√(2π)), b = μ, c = σ

У математиці функцією Гаусса (на ім‘я Карла Фрідріха Гаусса) є функція, що виражається залежністю

$f(x)=a{e}^{-\frac{(x-b{)}^2}{2c^2}}$

для дійсних чисел константа a > 0, b, c > 0, і e ≈ 2,718281828 (число Ейлера).

Графік функції Гаусса є характерною симетричною кривою у формі дзвону, що швидко спадає на нескінченності. Параметр a є висотою піку кривої, b є позицією центру, і c контролює ширину «дзвону».

Функцію Гаусса широко вживають в:

• Статистиці, де вона описує нормальний розподіл;
• Обробці сигналу, де нею розраховують фільтри Гаусса, в обробці зображень, де двовимірний гаусіан використовується для гаусового розмивання;
• Фізиці, де функцію вживано для розв'язку рівняння теплопровідності і рівняння дифузії;
• Математиці, щоб означити Шаблон:Нп.

Властивості

Гауссова функція виникає, коли діють експоненційною функцією на квадратичну функцію. Гауссова функція є такою, що її логарифм дає квадратичну функцію.

Через параметр c можна виразити ширину піку (FWHM) на половині його висоти згідно з формулою: $\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{H}\mathrm{M}=2\sqrt{2\ln 2}c=2,35482...\cdot c.$

Гауссова функція є аналітичною, і її границя при x → ±∞ є 0.

Визначений інтеграл від гауссової функції дає функцію помилок

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt.$

Визначений інтеграл з нескінченними границями має властивість

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

Цей інтеграл рівний 1 тоді і тільки тоді, коли a = 1/(c√(2π)), і в цьому випадку гаусіан є щільністю нормального розподілу випадкової величини з математичним очікуванням μ = b і дисперсією σ² = c².

При перетворенні Фур'є функції Гаусса з параметрами a, b = 0 і c отримуємо іншу функцію Гаусса, з параметрами ac, b = 0 і 1/c. Отже, як частковий випадок, функція Гаусса з b = 0 і c = 1 є інваріантом щодо перетворення Фур'є (вони є власними функціями перетворення Фур'є з власним значенням 1).

Згортка двох гаусіанів є також гаусіаном, із відхиленням c, що рівне середньому квадратичному відхилень тих двох гаусіанів, $c=\sqrt{c_1^2+c_2^2}$.

Двовимірна функція Гаусса

Графік функції Гаусса означеної на двовимірній множині

Частковим прикладом формули двовимірної функції Гаусса є

$f(x,y)=A{e}^{-(\frac{(x-x_o{)}^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{(y-y_o{)}^2}{2{\sigma }_y^2})}.$

Тут коефіцієнт A називається амплітудою, x_o,y_o визначає центр і σ_x, σ_y визначають «силу розмиття» в напрямку x і y. Фігура ліворуч утворена при A = 1, x_o = 0, y_o = 0, σ_x = σ_y = 1.

Загалом двовимірна гаусова функція описується як

$f(x,y)=A{e}^{-(a(x-x_o{)}^2+2b(x-x_o)(y-y_o)+c(y-y_o{)}^2)}$

Де матриця

$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$

є додатно визначеною.

Використовуючи це формулювання, графік ліворуч може бути побудований при параметрах: A = 1, (x_o, y_o) = (0, 0), a = c = 1, b = 0.

Див. також

• Список інтегралів Гауссівських функцій
• Дискретне гауссове ядро
• Нормальний розподіл

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр

Посилання

• Mathworld, Gaussian Function