Гомоморфізм

В алгебрі гомоморфізм — це зберігаюче структуру Шаблон:Нп між двома алгебричними структурами того ж самого типу (наприклад, двома групами, двома кільцями, двома векторами просторами).

Слово гомоморфізм у перекладі з давньогрецької Шаблон:Lang-el – однаковий і Шаблон:Lang-el – форма, вид. Цей термін з'явився ще в 1892, його припусували німецькому математику Феліксу Клейну (1849—1925).

Гомоморфізми двох векторних просторів також називають лінійними відображеннями, а їх дослідженнями займається лінійна алгебра.

Поняття гомоморфізму було узагальнено під назвою морфізм для багатьох структур, що не мають множини-носія або не є алгебраїчними. Це узагальнення — відправна точка теорії категорій

Гомоморфізм може також бути ізоморфізмом, ендоморфізмом, автоморфізмом і т.п. (дивись нижче). Кожен з цих гомоморфізмів може бути визначений способом, який можна узагальнити до будь-якого класу морфізмів.

Означення

Гомоморфізм — це відображення між двома алгебричними структурами одного типу (з однаковими назвами), що зберігає операції цих структур. Це означає відображення $f:A\to B$ між двома множинами $A$, $B$, які мають однакові структуру такі, що якщо $\cdot$ — операція цієї структури (для спрощення вважаємо її бінарною операцією), тоді

$f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$

для будь-якої пари елементів $x$,$y$ множини $A$. Часто говорять, що гомоморфізм $f$ зберігає операцію або сумісний з операцією.

Формально, відображення $f:A\to B$ зберігає операцію $\mu$ арності $k$, яка визначена на обох множинах, якщо

$f({\mu }_A(a_1,\dots ,a_k))={\mu }_B(f(a_1),\dots ,f(a_k))$,

для всіх елементів $a_1,\dots ,a_k$ множини $A$.

Операції, що повинні зберігатися при гомоморфізмі, включають 0-арні операції, тобто константи. Зокрема, коли нейтральний елемент вимагається типом структури, то нейтральний елемент першої структури має відображатися в відповідний нейтральний елемент другої структури.

Наприклад,

• Гомоморфізм напівгруп — це відображення між напівгрупами, що зберігає операції напівгруп.
• Шаблон:Нп — це відображення між моноїдами, що зберігає операції моноїдів та відображає нейтральний елемент першого моноїду у нейтральний елемент другого моноїду (нейтральний елемент це 0-арна операція).
• Гомоморфізм груп — це відображення між двома групами, що зберігає операції груп.

З цього випливає, що гомоморфізм груп відображає нейтральний елемент першої групи у нейтральний елемент другої групи, та відображає обернений елемент першої групи у обернений образ цього елемента. Тому, гомоморфізм напівгруп між групами обов'язково є гомоморфізмом груп.

• Гомоморфізм кілець — це відображення між кільцями, що зберігає додавання в кільцях, множення в кільцях та мультиплікативні тотожності.
• Лінійне відображення — це гомоморфізм векторних просторів, тобто гомоморфізм груп між векторними просторами, що зберігає структури абелевих груп та множення на скаляр.
• Шаблон:Нп, також називають лінійним відображення між модулями, визначають аналогічним чином.
• Шаблон:Li — це відображення, що зберігає операції алгебри.

Алгебраїчна структура може мати більше однієї операція та гомоморфізм повинен зберігати кожну операцію. Таким чином, відображення, що зберігає тільки деякі операції не є гомоморфізмом структури, але лише гомоморфізмом субструктури, що отримується при розгляді лише збережених операцій. Наприклад, відображення між моноїдами, що зберігає операцію моноїда, а не нейтральний елемент, не є гомоморфізмом моноїду, але є гомоморфізмом напівгрупи.

При гомоморфізмі між алгебричними структурами позначення операцій в них не обов'язково повинні збігатися. Наприклад, дійсні числа утворюють групу з операцією додавання, а додатні дійсні числа утворюють групу з операцією множення. Експонента

$x\mapsto {\mathrm{e}}^x$

задовольняє співвідношення

${\mathrm{e}}^{x+y}={\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^y$

та визначає гомоморфізм між цими двома групами. Більш того, це навіть ізоморфізм (дивись нижче), бо її обернена функція (натуральний логарифм) задовольняє співвідношення

$\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$

і це також гомоморфізм між групами.

В термінах універсальної алгебри, це Шаблон:Нп $\varphi :A\to B$, алгебричної системи $A$ в алгебраїчну систему $B$ того ж типу, що зберігає алгебраїчну операцію:

$\varphi (f_A(x_1,\dots ,x_n))=f_B(\varphi (x_1),\dots ,\varphi (x_n))$

для кожної $n$-арної операції $f$ і $\mathrm{\forall }{x}_i\in A$.

Базові приклади

Гомоморфізм моноїду $f$ з моноїду $(\mathbb{N},+,0)$ у моноїд $(\mathbb{N},\times ,1)$ визначається функцією $f(x)=2^x$. Гомоморфізм є ін'єктивним, але не є сюр'єктивним.

Дійсні числа є кільцем, що має додавання і множення. Множина всіх $2\times 2$ матриць також кільце над додаванням матриць і множенням матриць. Якщо ми визначимо функцію між цими кільцями так:

$f(r)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)$

де $r$ дійсне число. Тоді $f$ — гомоморфізм кілець, бо $f$ зберігає і додавання:

$f(r+s)=\left(\begin{array}{cc}r+s& 0\\ 0& r+s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)=f(r)+f(s)$

і множення:

$f(rs)=\left(\begin{array}{cc}rs& 0\\ 0& rs\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}r& 0\\ 0& r\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right)=f(r)f(s).$

Інший приклад, ненульові комплексні числа утворюють групу над множенням, так само як ненульові дійсні числа. (Нуль треба виключити, бо він не має оберненого елемента, який повинен бути в елементів групи.) Визначимо функцію $f$ з ненульових комплексних чисел в ненульові дійсні числа так

$f(z)=|z|.$

Де, $f(z)$ — абсолютне значення (або модуль) комплексного числа $z$. Тоді $f$ — гомоморфізм групи, бо воно зберігає множення:

$f(z_1{z}_2)=|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|=f(z_1)f(z_2).$

Зауважте, що $f$ не можна поширити на гомоморфізм груп (з комплексних в дійсні), бо вона не зберігає додавання:

$|z_1+z_2|\ne |z_1|+|z_2|.$

Як приклад на діаграмі показано гомоморфізм моноїду $f$ від моноїду $(\mathbb{N},+,0)$ до моноїду $(\mathbb{N},\times ,1)$. Завдяки різним назвам відповідних операцій, властивості збереження структури, яким задовольняє $f$, запишуться як $f(x+y)=f(x)\times f(y)$ та $f(0)=1$.

Композиційна алгебра $A$ над полем $𝔽$ має квадратичну форму, яка називається нормою, $N:A\to 𝔽$, яка є груповим гомоморфізмом з Шаблон:Нп алгебри $A$ у мутиплікативну групу поля $𝔽$.

Типи гомоморфізмів

Кожен тип алгебричних структур має свій гомоморфізм:

• Гомоморфізм груп
• Гомоморфізм кілець
• Гомоморфізм модулів
• Лінійний оператор (гомоморфізм векторних просторів)
• Гомоморфізм алгебр

Часткові випадки

Декілька видів гомоморфізму мають спеціальні назви, які також визначаються для загальних морфізмов.

Ізомормізм

Ізоморфізм — бієктивний гомоморфізм.Шаблон:Rp Шаблон:Rp Ізоморфізм між алгебричними структурами одного типу зазвичай визначають як бієктивний гомоморфізм.

У більш загальному контексті теорії категорій ізоморфізм визначається як морфізм, який має обернене відображення, яке також є морфізмом. У випадку алгебраїчних структур ці два означення є еквівалентними, хоча вони можуть відрізнятися для неалгебраїчних структур, які мають множину-носія.

Точніше, якщо

$f:A\to B$

є (гомо)морфізмом, то він має обернений, якщо існує гомоморфізм

$g:B\to A$

такий, що

$f\circ g={\mathrm{Id}}_B\text{та}g\circ f={\mathrm{Id}}_A.$

Якщо $A$ та $B$ мають множини-носії та $f:A\to B$ має обернене відображення $g$, тоді $f$ є бієктивним. Дійсно, $f$ є ін'єктивним, оскільки з $f(x)=f(y)$ випливає, що $x=g(f(x))=g(f(y))=y$, та $f$ є сюр'єктивним, так як для будь-якого $x$ з $B$ маємо, що $x=f(g(x))$, і $x$ є образом елемента з $A$.

Навпаки, якщо $f:A\to B$ — бієктивний гомоморфізм між алгебраїчними структурами, нехай $g:B\to A$ — таке відображення, щоб $g(y)$ єдиний елемент $x$ з $A$ такий, що $f(x)=y$. Маємо, що $f\circ g={\mathrm{Id}}_B$ та $g\circ f={\mathrm{Id}}_A$, і залишається лише показати, що $g$ є гомоморфізмом. Якщо $*$ є бінарною операцією структури, то для будь-якої пари $x$, $y$ елементів з $B$ маємо:

$g(x{*}_{B}y)=g(f(g(x)){*}_{B}f(g(y)))=g(f(g(x){*}_{A}g(y))))=g(x){*}_{A}g(y)$

і, таким чином, $g$ сумісний з операцією $*$. Оскільки доведення аналогічне для будь-якої арності, то це означає, що $g$ — гомоморфізм.

Це доведення не працює для неалгебраїчних структур. Наприклад, для топологічних просторів морфізм є неперервним відображенням, а обернене до бієктивного неперервного відображення не обов'язково є неперервним. Ізоморфізм топологічних просторів, який називається гомеоморфізмом або бінеперервним відображенням, таким чином, є бієктивним неперервним відображенням, обернене до якого також є неперервним.

Ендоморфізм

Ендоморфізм — гомоморфізм алгебраїчної категорії самої в себе. Ендоморфізм — це гомоморфізм, область визначення якого збігається з Шаблон:Нп, або, в більш загальному сенсі, морфізм, джерело якого дорівнює цілі.Шаблон:Rp

Ендоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють моноїд за композицією.

Ендоморфізми векторного простору або модуля утворюють кільце. У випадку векторного простору або вільного модуля скінченної розмірності, вибір базису індикує ізоморфізм кільця між кільцем ендоморфізмів і кільцем квадратних матриць тієї ж розмірності.

Автоморфізм

Автоморфізм — ендоморфізм, що є одночасно ізоморфізмом.Шаблон:Rp Автоморфізми алгебричної структури або об'єкта категорії утворюють групу за композицією, яка називається групою автоморфізмів структури.

Багато іменних груп є групами автоморфізмів деякої алгебричної структури. Наприклад, загальна лінійна група ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(k)$ — група автоморфізмів векторного простору розмірності $n$ над полем $k$.

Групи автоморфізмів полів були введені Еваристом Галуа при дослідженні коренів многочленів і є основою теорії Галуа.

Мономорфізм

Мономорфізм — ін'єктивний гомоморфізм.Шаблон:Rp Шаблон:Rp У загальному контексті теорії категорій мономорфізм визначається як морфізм, який є лівим скороченням. Це означає, що (гомо)морфізм $f:A\to B$ є мономорфізмом, якщо для будь-якої пари морфізмів $g$, $h$ з будь-якого іншого об'єкта $C$ в $A$, з $f\circ g=f\circ h$ випливає, що $g=h$.

Ці два означення мономорфізму еквівалентні для всіх загальних алгебраїчних структур. Точніше, вони еквівалентні для полів, для яких будь-який гомоморфізм є мономорфізмом, і для многовидів універсальної алгебри, тобто алгебраїчних структур, для яких операції і аксіоми (тотожності) визначаються без будь-яких обмежень (поля не утворюють многовидів, так як мультиплікативні обернені визначаються або як унітарна операція, або як властивість множення, які в обох випадках визначаються тільки для ненульових елементів).

Зокрема, два означення мономорфізму еквівалентні для множин, магм, напівгруп, моноїдів, груп, кільць, полів, векторних просторів і модулів.

Шаблон:Нп — це гомоморфізм, який має лівий обернений, і, таким чином, сам є правим оберненим цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f:A\to B$ є розщепленим мономорфізмом, якщо існує гомоморфізм $g:B\to A$ такий, що $g\circ f={\mathrm{Id}}_A$. Розщеплений мономорфізм завжди є мономорфізмом для обох значень мономорфізму. Для множин і векторних просторів будь-який мономорфізм є розщепленим мономорфізмом, але ця властивість не виконується для більш загальних алгебраїчних структур.

Епіморфізм

Епіморфізм — сюр'єктивний гомоморфізм. В алгебрі епіморфізми часто визначаються як сюр'єктивні гомоморфізми.Шаблон:RpШаблон:Rp З іншого боку, в теорії категорій епіморфізми визначаються як скоротні справа морфізми. Це означає, що (гомо)морфізм $f:A\to B$ є епіморфізмом, якщо для будь-якої пари $g$, $h$ морфізмів з $B$ до будь-якого іншого об'єкта $C$, рівність $g\circ f=h\circ f$ означає $g=h$.

Сюр'єктивний гомоморфізм завжди є скоротним справа, але ця домовленість не завжди вірна для алгебраїчних структур. Однак, два визначення епіморфізму тотожні для множин, векторних просторів, абелевих груп, модулів (див. нижче для доведення) і груп. Важливість цих структур у всій математиці, і особливо в лінійній алгебрі та гомологічній алгебрі, може пояснити співіснування двох нетотожних визначень.

Алгебраїчні структури, для яких існують несюр'єктивні епіморфізми, включають напівгрупи і кільця. Основним прикладом є те що цілі числа входять до раціональних чисел, що є гомоморфізмом кілець і мультиплікативних напівгруп. Для обох структур це мономорфізм і не сюр'єктивний епіморфізм, але не ізоморфізм.

Широким узагальненням цього прикладу є локалізація кільця мультиплікативною множиною. Кожна локалізація — це кільцевий епіморфізм, який, в загальному випадку, не сюр'єктивний. Оскільки локалізації є фундаментальними в комутативній алгебрі та алгебричній геометрії, це може пояснити, чому в цих областях визначення епіморфізмів як скоротних справа гомоморфізмів, як правило, є кращим.

Шаблон:Нп — це гомоморфізм, що має праве обернення і, таким чином, сам по собі є лівим оберненням від цього іншого гомоморфізму. Тобто гомоморфізм $f:A\to B$ є розділеним епіморфізмом, якщо існує гомоморфізм $g:B\to A$ такий, що $f\circ g={\mathrm{Id}}_B.$ Розділений епіморфізм завжди є епіморфізмом для обох значень епіморфізму. Для множин та векторних просторів, будь-який епіморфізм це розділений епіморфізм, та ця властивість не буде виконуватися для всіх алгебраїчних структур.

У підсумку, маємо

розділений епіморфізм $\Rightarrow$ епіморфізм(сюр'єктивний) $\Rightarrow$ епіморфізм (скоротний справа)

останнє значення - еквівалентність множин, векторних просторів, модулів і абелевих груп; перше значення - еквівалентність множин і векторних просторів.

Ядро та образ гомоморфізму

• Гомоморфізм $\varphi :A\to B$ визначає відношення еквівалентності $\sim$ в $A$ так:

$x\sim y⟺\varphi (x)=\varphi (y).$

Відношення $\sim$ називається ядром $\varphi$.

• Фактор-множина $X/\sim$ ізоморфна образу $\varphi$.

Властивості

• Множина всіх ендоморфізмів множини $X$ утворює моноїд, позначається $\mathrm{End}(X)$.
• Множина всіх автоморфізмів множини $X$ утворює групу, позначається $\mathrm{Aut}(X)$.

Практичне значення

Поняття гомоморфізму і споріднені з ним поняття ізоморфізму і автоморфізму мають величезне практичне значення, так як вони дозволяють представляти одну модель іншою моделлю.

Див. також

• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми
• Гомеоморфізм
• Дифеоморфізм

Література

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Кон.Универсальная алгебра