Гомеоморфізм

Класичний приклад гомеоморфізму: кухоль і бублик топологічно еквівалентні

Трилисник топологічно гомеоморфний тору. На перший погляд це здається нелогічним, але в чотиривимірному просторі вони неперервно деформуються один в другий

Щодо гомеоморфізму в теорії графів див. Гомеоморфізм (теорія графів).

Не плутати з гомоморфізмом.

Топологічна еквівалентність перенаправляється сюди.

Для топологічної еквівалентності в динамічних системах, див. Топологічна спряженість.

У математичній частині топології гомеоморфізм, топологічний ізоморфізм або неперервна в обох напрямках функція — це неперервна функція між топологічними просторами, яка має неперервну обернену функцію. Гомеоморфізми є ізоморфізмами в категорії топологічних просторів, тобто відображення, що зберігають усі Шаблон:Нп заданого простору. Два простори з гомеоморфізмом між ними називаються гомеоморфними, і з топологічної точки зору вони однакові. Слово гомеоморфізм походить від грецьких слів homoios (подібний) і morphe (форма) і було введено у математику в 1895 році Анрі Пуанкаре.

Грубо кажучи, топологічний простір — це геометричний об'єкт, а гомеоморфізм — це неперервне розтягування і вигинання об'єкта в нову форму. Таким чином, квадрат і коло гомеоморфні один одному, а сфера і тор — ні. Однак цей опис може бути хибним. Деякі неперервні деформації не є гомеоморфізмами, наприклад, деформація прямої в точку. Деякі гомеоморфізми не є неперервними деформаціями, наприклад, гомеоморфізм між вузлом трилисника і колом. Часто повторюваний математичний жарт полягає в тому, що топологи не можуть відрізнити чашку кави від пончика, оскільки досить пластичному пончику можна надати форму чашки для кави, створивши ямку та поступово збільшуючи її, зберігаючи при цьому отвір для пончика в ручці чашки.

Означення

Нехай $(X,{𝒯}_X)$ і $(Y,{𝒯}_Y)$ — два топологічні простори.

Функція $f:X\to Y$ називається гомеоморфізмом, якщо вона взаємно однозначна, а також $f$ і $f^{-1}$ неперервні.

Простори $X$ та $Y$ у цьому випадку називаються гомеоморфними або топологічно еквівалентними.

Гомеоморфізм іноді називають взаємно неперервною функцією. Якщо така функція існує, то простори $X$ та $Y$ є гомеоморфними. Автогомеоморфізм — це гомеоморфізм з топологічного простору на себе. Бути гомеоморфним — це відношення еквівалентності на топологічних просторах. Такі класи еквівалентності називаються гомеоморфними класами.

Властивості

• Два гомеоморфні простори мають однакові Шаблон:Нп. Наприклад, якщо один з них компактний, то і другий також компактний; якщо один з них зв'язний, то й другий також зв'язний; якщо один з них хаусдорфів, то й інший також хаусдорфів; їхні гомотопічні та гомологічні групи співпадають. Варто зауважити, що це не поширюється на властивості, які визначені за допомогою метрики; існують метричні простори, які є гомеоморфними, хоча один з них є повним, а інший — ні.
• Гомеоморфізм є одночасно Шаблон:Нп і Шаблон:Нп відображенням; тобто він відображає відкриті множини у відкриті множини і замкнені множини у замкнені множини.
• Будь-який автогомеоморфізм на $S^1$ можна розширити до автогомеоморфізму на усьому диску $D^2$ Шаблон:Нп.

Приклади

• Довільний відкритий інтервал $]a,b[\subset ℝ$ гомеоморфний всій числовій прямій $ℝ$. Гомеоморфізм $f:]a,b[\to ℝ$ задається, наприклад, формулою

$f(x)=\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\pi \frac{x-a}{b-a}\right).$

• Одиничний двовимірний диск $D^2$ і одиничний квадрат в ${ℝ}^2$ є гомеоморфними, оскільки одиничний диск можна деформувати в одиничний квадрат. Прикладом взаємно неперервного відображення квадрату в диск в полярних координатах є

$(\rho ,\theta )\mapsto (\frac{\rho }{\max (|\cos \theta |,|\sin \theta |)},\theta )$.

• Графік диференційованої функції гомеоморфний області визначення цієї функції.
• Два гомеоморфних простори мають однакові топологічні властивості.
• Наприклад, якщо один компактний, інший компактний теж; якщо один є зв'язним, зв'язним буде і другий; якщо один є гаусдорфовим, інший буде теж; їхні гомологічні групи збігатимуться.
• Але це не поширюється на властивості, похідні від метрики; з двох метричних гомеоморфних просторів один може бути повним, в той час як другий — ні.
• Гомеоморфізм відображає відкриті множини на відкриті, і замкнені множини — на замкнені.
• Стереографічна проєкція — це гомеоморфізм між одиничною сферою в ${ℝ}^3$ з вилученою точкою і сукупністю всіх точок двовимірної площини ${ℝ}^2$.
• Якщо $G$ — топологічна група, то її відображення інверсії $x\mapsto x^{-1}$ є гомоморфізмом.

Також для будь-яких $x\in G$ лівий зсув $y\mapsto xy$, правий зсув $y\mapsto yx$, і внутрішній автоморфізм $y\mapsto xy{x}^{-1}$ є гомеоморфізмами.

Приклади відсутності гомеоморфізму

• ${ℝ}^m$ і ${ℝ}^n$ не є гомоморфізмом при $m\ne n$.
• Евклідова дійсна пряма негомеоморфна одиничному колу як підпростору ${ℝ}^2$, оскільки одиничне коло є компактом як підпростір евклідового простору ${ℝ}^2$, а дійсна пряма лінія не є компактом.
• Одновимірні інтервали $[0,1]$ і $(0,1)$ не є гомеоморфними, оскільки неможливо побудувати неперервну бієкцію.

Теорема про гомеоморфізм

Нехай $|a,b|\subset ℝ$ — інтервал на числовій прямій (відкритий, напіввідкритий або замкнутий).

Нехай $f:|a,b|\to f(|a,b|)\subset ℝ$ — бієкція.

Тоді $f$ є гомеоморфізмом тоді і тільки тоді, коли $f$ є строго монотонна і неперервна на $|a,b|$.

Зауваження

Третя умова щодо неперервності відображення $f^{-1}$ є суттєвою. Розглянемо, наприклад, функцію $f:(0,2\pi ]\to S^1$ ($S^1$ — одиничне коло в ${ℝ}^2$) визначену як $f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi )$. Ця функція є бієктивною і неперервною, але не є гомеоморфізмом компактом, а $[0,2\pi )$ — ні). Функція $f^{-1}$ не є неперервною в точці $(1;0)$ тому, що хоча $f^{-1}$ відображає $(1;0)$ в $0$, але будь-який окіл цієї точки також включає точки, які функція відображає в точки близькі до $2\pi$. При цьому точки, які вона відображає у числа між ними, лежать за межами цього околу.

Гомеоморфізми — це ізоморфізм в категорії топологічних просторів.

Таким чином, композиція двох гомеоморфізмів знову є гомеоморфізмом, і множина всіх автогомеоморфізмів $X\to X$ утворює групу, яку називають Шаблон:Нп топологічного простору $X$, яку часто позначають $\mathrm{Homeo}(X)$. На цій групі можна задати топологію, наприклад, компактно-відкриту топологію, яка за певних припущень робить її топологічною групою.

Для деяких цілей гомоморфічна група виявляється занадто великою, але за допомогою ізотопічного співвідношення можна звести цю групу до Шаблон:Нп. Аналогічно, як зазвичай в теорії категорій, для заданих двох гомеоморфних просторів простір гомеоморфізмів $\mathrm{Homeo}(X,Y)$ між ними є Шаблон:Нп для груп гомеоморфізмів $\mathrm{Homeo}(X)$ і $\mathrm{Homeo}(Y)$ і, враховуючи певний гомеоморфізм між $X$ і $Y$, всі три множини є ідентифікованими.

Неформальна дискусія

Інтуїтивний критерій розтягування, згинання, розрізання та зворотнього склеювання вимагає певної практики для правильного застосування, з опису вище — може бути неочевидним, наприклад, що деформація відрізка прямої до точки неприпустима. Тому важливо розуміти, що це має наведене вище формальне означення. У цьому випадку, наприклад, відрізок прямої має нескінченну кількість точок, і тому для нього не можна побудувати бієкцію з множиною, що містить лише скінченну кількість точок, зокрема і одну точку.

Така характеристика гомеоморфізму часто призводить до плутанини з поняттям гомотопії, яка насправді визначається, як неперервна деформація, але від однієї функції до іншої, а не від одного простору до іншого. У випадку гомеоморфізму уявлення про неперервну деформацію — це розумовий інструмент для відстеження того, які точки простору $X$ відповідають яким точкам простору $Y$ — потрібно лише слідкувати за ними по мірі деформації простору $X$. У випадку гомотопії неперервна деформація від одного відображення до іншого має істотне значення, і воно також менш обмежувальне, оскільки жодне із залучених відображень не повинне бути один-до-одного або на. Гомотопія дійсно призводить до відношення на просторах: гомотопічна еквівалентність.

Існує назва для виду деформації, пов'язаної з візуалізацією гомеоморфізму. Це (за винятком випадків, коли потрібні розрізати та повторно склеювати) ізотопія між тотожним відображенням на $X$ та гомеоморфізмом з $X$ в $Y$.

Див. також

• Локальний гомеоморфізм
• Диффеоморфізм — ізоморфізм гладких многовидів; гладка бієкція з гладкою інверсією.
• Рівномірний ізоморфізм — рівномірний неперервний гомеоморфізм — це ізоморфізм між рівномірними просторами.
• Ізометричний ізоморфізм — це ізоморфізм між метричними просторами.
• Шаблон:Нп.
• Шаблон:Нп.
• Гомеоморфізм (теорія графів) — поняття в теорії графів (тісно пов'язане з поділом графів).
• Гомотопія, ізотопія — неперервна деформація між двома неперервними функціями.
• Група класів відображень — група ізотопічних класів групи топологічних автоморфізмів.
• Гіпотеза Пуанкаре — теорема геометричної топології, сформульована Анрі Пуанкаре і доведена Григорієм Перельманом.
• Шаблон:Нп.

Зовнішні посилання

• Шаблон:Springer