Ізотопія

Ізото́пія — це така гомотопія $f_t:X\to Y,t\in [0,1]$ , в якій за будь-якого $t$ відображення $f_t$ є гомеоморфізмом $X$ на $f(X)\subset Y$.

Пов'язані означення

• Шаблон:Нп для ізотопії $f_t:X\to Y$ називається ізотопія простору $F_t:Y\to Y$ така, що $F_t{|}_X\equiv f_t$.
• Два вкладення $f_0,f_1:X\to Y$ называються ізотопними, якщо існує накривна ізотопія $F_t:Y\to Y$, для якої $F_0=id,F_1(f_0(X))=f_1(X)$.
• Простори $X$ і $Y$ називають ізотопічно еквівалентними або просторами одного й того ж ізотопічного типу, якщо існують вкладення $f:X\to Y,g:Y\to X$ такі, що композиції $g\circ f:X\to X$ и $f\circ g:Y\to Y$ ізотопні тотожним відображенням.
  • Якщо простори гомеоморфні, то вони ізотопічно еквівалентні, проте є негомеоморфні простори одного ізотопічного типу, наприклад, $n$-вимірна куля і така ж куля з приклеєним до її поверхні (одним своїм кінцем) відрізком.
  • Будь-який гомотопічний інваріант є ізотопічним інваріантом, але існують ізотопічні інваріанти, наприклад, розмірність, які не є гомотопічними.

Властивості

• Гладка ізотопія завжди подовжується до гладкої накривної ізотопії.
• Існують дифеоморфізми сфери $S^n$ на себе, неізотопні тотожному, цей факт пов'язаний з існуванням нетривіальних диференціальних структур на сферах розмірності $n+1$.

Джерела

• Шаблон:Springer