Многочлен від матриці

Многочлен від матриці — многочлен, в якому квадратна матриця є його змінною.

Якщо задано многочлен скалярної змінної $x$:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n,$

то підставивши замість скалярної змінної матрицю $A$ отримаємо:

$P(A)=\sum _{i=0}^n{a}_i{A}^i=a_{0}I+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n,$

де $I$ — одинична матриця.

Властивості

• Якщо матриці $A$ і $B$ — подібні матриці ($B=P^{-1}AP$), то $p(A)$ і $p(B)$ теж подібні матриці.

Анулюючий та мінімальний многочлени матриці

• Многочлен p називається анулюючим многочленом матриці $A$, якщо $p(A)$ є нульовою матрицею.
• Нормований многочлен $p$ називається мінімальним многочленом матриці $A$, якщо $p(A)$ є її анулюючим многочленом мінімального степеня.
• Всі анулюючі многочлени матриці $A$ мають дільником мінімальний многочлен матриці $A$.
• Мінімальний многочлен матриці $A$ порядку $n$ має степінь $m\le n$.
• Мінімальний многочлен степеня $m\le n$ матриці $A$, дозволяє виразити $A^m,A^{m+1},\dots$ через многочлени матриці $A$ степенів $\le m-1$.

Теорема Гамільтона — Келі

Шаблон:Main Теорема Гамільтона — Келі: характеристичний многочлен матриці $A$ є її анулюючим многочленом.

Функція від матриці

Багато аналітичних функцій означаються для матричного аргумента з використанням їхнього ряду Тейлора, на основі наступної властивості.

Для заданих многочленів $P$ та $Q$, рівність $P(A)=Q(A)$ досягається тоді й лише тоді, якщо

$P^{(j)}({\lambda }_i)=Q^{(j)}({\lambda }_i)\text{для }j=0,\dots ,n_i-1\text{ та }i=1,\dots ,s,$

де $P^{(j)}$ позначає $j$-ту похідну $P$ та ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s$ є власними значеннями $A$ з відповідними кратностями $n_1,\dots ,n_s$ (кратність власного значення рівна його блоку Жордана).

Див. також

• Матриця многочленів
• Матрична функція

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Golub.Loan.Matrix Computations