Матриця многочленів

Матриця многочленів (λ-матриця) — в математиці, це матриця, елементами якої є многочлени однієї чи декількох змінних.

Це те саме що і многочлен, коефіцієнтами якого є матриці.

Матриця многочленів (одноєї змінної) P ступеня p визначається, як:

$P=\sum _{n=0}^{p}A(n)x^n=A(0)+A(1)x+A(2)x^2+\cdots +A(p)x^p$

де $A(i)$ матриці констант, та $A(p)$ не є нульовою матрицею.

Приклад перетворення матриці многочленів розміру 3×3 ступеня 2 в многочлен, коефіцієнтами якого є матриці:

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& x^2& x\\ 0& 2x& 2\\ 3x+2& x^2-1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 2& -1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 3& 0& 0\end{array}\right)x+\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)x^2.$

Властивості

Якщо за λ позначити змінну многочленів, а за I — одиничну матрицю, тоді матриця λI − A є характеристичною матрицею матриці A. А її визначник, |λI − A| є характеристичним многочленом матриці A.

Див. також

• Многочлен від матриці — многочлен, де матриці присутні в натуральних степенях

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра