Двадцятичотирьохкомірник

Правильний двадцятичотирьохкомірник, або просто двадцятичотирьохкомірник, або ікосітетрахор (від Шаблон:Lang-grc — «двадцять», Шаблон:Lang-grc2 — «чотири» і Шаблон:Lang-grc2 — «місце, простір») — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі.

Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х років^[1]. Символ Шлефлі двадцятичотирьохкомірника — {3,4,3}.

Двоїстий сам собі; двадцятичотирьохкомірник — єдиний самодвоїстий правильний політоп розмірності більше 2, що не є симплексом. Цим обумовлена унікальність двадцятичотирьохкомірника: на відміну від п'яти інших правильних двадцятичотирьохкомірників, він не має аналога серед платонових тіл.

Опис

Обмежений 24 тривимірними комірками — однаковими октаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює $12 0^{\circ} .$

96 двовимірних граней — рівні правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.

Має 96 ребер рівної довжини, розташованих так само, як ребра трьох тесерактів зі спільним центром. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.

Має 24 вершини, розташовані так само, як вершини трьох шістнадцятикомірників зі спільним центром. У кожній вершині сходяться по 8 ребер, по 12 граней та по 6 комірок.

Двадцятичотирьохкомірник можна розглядати як Шаблон:Нп шістнадцятикомірник.

Двадцятичотирьохкомірник можна зібрати з двох рівних тесерактів, розрізавши один з них на 8 однакових кубічних пірамід, основи яких — 8 комірок тесеракта, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 8 кубічних комірок іншого тесеракта. У тривимірному просторі аналогічно можна з двох рівних кубів зібрати ромбододекаедр — який, однак, не є правильним.

У координатах

Перший спосіб розташування

Двадцятичотирьохкомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб 8 з його вершин мали координати $(\pm 2; 0; 0; 0),$ $(0; \pm 2; 0; 0),$ $(0; 0; \pm 2; 0),$ $(0; 0; 0; \pm 2)$ (ці вершини розташовані так само, як вершини шістнадцятикомірника), а решта 16 вершин — координати $(\pm 1; \pm 1; \pm 1; \pm 1)$ (вони розташовані так само, як вершини тесеракта; крім того, ті 8 з них, серед координат яких непарна кількість від'ємних, утворюють вершини іншого шістнадцятикомірника, а інші 8 — вершини третього шістнадцятикомірника).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких усі чотири координати різняться на $1$ або одна з координат відрізняється на $2,$ а решта збігаються.

Початок координат $(0; 0; 0; 0)$ буде центром симетрії двадцятичотирьохкомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних тривимірних гіперсфер .

Другий спосіб розташування

Крім того, двадцятичотирьохкомірник можна розмістити так, щоб координати всіх його 24 вершин були всілякими перестановками чисел $(\pm 1; \pm 1; 0; 0)$ (Ці точки — центри 24 комірок багатокомірника, описаного в попередньому розділі).

При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких якісь дві координати різняться на $1,$ а інші дві збігаються.

Центром багатоосередника знову буде початок координат.