Кирпатий двадцятичотирьохкомірник

Кирпатий двадцятичотирьохкомірник
Тип	Шаблон:Нп
Символ ШлефліШаблон:Sfn	s{3,4,3} sr{3,3,4} s{31,1,1}
Діаграми Коксетера — Динкіна	Шаблон:CDD Шаблон:CDD або Шаблон:CDD Шаблон:CDD або Шаблон:CDD
Комірок	144	96 3.3.3 (неправильний)  24 3.3.3 24 3.3.3.3.3
Граней	480 {3}
Ребер	432
Вершин	96
Вершинна фігура	(Тричі відсічений ікосаедр)
Групи симетрії	[3+,4,3], Шаблон:SfracF4, порядок 576 [(3,3)+,4], Шаблон:SfracB4, порядок 192 [31,1,1]+, Шаблон:SfracD4, порядок 96
Двоїстий	Шаблон:Нп
Властивості	опуклий
Показник однорідності Шаблон:Уточнити	30 31 32

Кирпа́тий двадцятичотирьохкомі́рник — чотиривимірний многогранник, один із 47 непризматичних опуклих Шаблон:Не перекладено і один із 3 Шаблон:Не перекладено (бо складається з платонових тіл двох різних видів).

Вперше описав у статті 1900 року Шаблон:Не перекладено, який назвав багатокомірник тетрікосаедриком (Шаблон:Lang-en2), оскільки його комірки - тетраедри та ікосаедри. Також відомий як кирпатий ікосітетрахор, напівкирпатий поліоктаедр (Шаблон:Lang-en).

Опис

Розгортка

Обмежений 144 тривимірними комірками - 120 правильними тетраедрами і 24 правильними ікосаедрами. Кожну ікосаедричну комірку оточують вісім ікосаедричних та дванадцять тетраедричних. Тетраедричні комірки поділяються на дві групи: 24 з них оточені чотирма тетраедричними, решта 96 — трьома ікосаедричними та тетраедричною.

480 двовимірних граней - однакові правильні трикутники. 96 граней розділяють дві ікосаедричні комірки, 96 граней — дві тетраедричні, інші 288 — ікосаедричну й тетраедричну.

Має 432 ребра рівної довжини. На 288 ребрах сходяться по три грані й по три комірки (дві ікосаедричні й тетраедрична), на решті 144 - по чотири грані й по чотири комірки (ікосаедрична та три тетраедричні).

Має 96 вершин. У кожній вершині сходяться по 9 ребер, по 15 граней і по 8 комірок (три ікосаедричні та п'ять тетраедричних).

Кирпатий двадцятичотирьохкомірник можна отримати з шестисоткомірника, відсікши від того 24 ікосаедричні піраміди — так, щоб замість них залишилися тільки їхні основи. Вершини отриманого багатокомірника - 96 зі 120 вершин шестисоткомірника (а видалені 24 вершини утворюють вершини звичайного двадцятичотирьохкомірника); ребра - 432 зі 720 ребер шестисоткомірника; грані - 480 із 1200 граней шестисоткомірника. Звідси ясно, що в кирпатого двадцятичотирьохкомірника теж існують описана і обидві напіввписані тривимірні гіперсфери, причому вони збігаються з описаною і напіввписаними гіперсферами початкового шестисоткомірника.

У координатах

Кирпатий двадцятичотирьохкомірник із довжиною ребра $2$ можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб координати його вершин були різними парними перестановками наборів чисел $(0;\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };\pm {\mathrm{\Phi }}^2),$ де $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ - відношення золотого перетину.

Початок координат $(0;0;0;0)$ буде при цьому центром симетрії багатокомірника, а також центром його описаної та напіввписаних гіперсфер.

Ортогональні проєкції на площину

Метричні характеристики

Якщо кирпатий двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини $a,$ то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні виражаються відповідно як

$V_4=5(\frac{9}{4}+\sqrt{5})a^4\approx 22,4303399a^4,$

$S_3=10(3+\sqrt{2}+\sqrt{5})a^3\approx 66,5028154a^3.$

Радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнює

$R=\mathrm{\Phi }a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\rho }_1=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

${\rho }_2=\frac{1}{6}(\sqrt{15}+3\sqrt{3})a\approx 1,5115226a.$

Вписати в кирпатий двадцятичотирьохкомірник гіперсферу — так, щоб вона дотикалася до всіх комірок, — неможливо. Радіус найбільшої гіперсфери, яку можна помістити всередині кирпатого двадцятичотирьохкомірника з ребром $a$ (вона дотикатиметься лише до всіх ікосаедричних комірок у їхніх центрах), дорівнює

$r_I=\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})a\approx 1,3090170a.$

Відстань від центру багатокомірника до будь-якої тетраедричної комірки перевищує $r_I$ і становить

$r_T=\frac{1}{4}(\sqrt{10}+2\sqrt{2})a\approx 1,4976762a.$

Заповнення простору

За допомогою кирпатих двадцятичотирьохкомірників, шістнадцятикомірників і п'ятикоміриків можна без проміжків і накладень замостити чотиривимірний простір (див. Шаблон:Нп). Це заповнення також знайшов Торольд Госсет.

Посилання

• Джордж Ольшевський. Print #11: Snub icositetrachoron net Шаблон:Ref-en