Кубічна піраміда

Проєкція кубічної піраміди, що обертається, в тривимірний простір

Ортогональна двовимірна проєкція обертової правильногранної кубічної піраміди

Кубі́чна пірамі́да — чотиривимірний многогранник (багатокомірник): Шаблон:Не перекладено, що має основою куб.

Опис

Обмежена 7 тривимірними комірками — 6 квадратними пірамідами та 1 кубом. Кубічна комірка оточена всіма шістьма пірамідальними; кожна пірамідальна комірка оточена кубічною та чотирма пірамідальними.

Має 18 граней — 6 квадратів і 12 трикутників. Кожна квадратна грань поділяє кубічну та пірамідальну комірки, кожна трикутна — дві пірамідальні.

Має 20 ребер. На кожному ребрі сходяться по три грані і по три комірки: для 12 ребер це дві квадратні і трикутна грані, кубічна і дві пірамідальних комірки; для решти 8 ребер — три трикутні грані, три пірамідальні комірки.

Має 9 вершин. У 8 вершинах сходяться по 4 ребра, по 6 граней (три квадратні, три трикутні) і по 4 комірки (кубічна, три пірамідальних); у 1 вершині — 8 ребер, всі 12 трикутних граней і всі 6 пірамідальних комірок.

Правильногранна кубічна піраміда

Якщо всі ребра кубічної піраміди мають рівну довжину $a$, всі її грані є правильними многокутниками. Чотиривимірний гіпероб'єм та тривимірна гіперплоща поверхні такої піраміди відповідно становлять

$V_4=\frac{1}{8}{a}^4=0,1250000a^4,$

$S_3=(1+\sqrt{2})a^3\approx 2,4142136a^3.$

Висота піраміди при цьому дорівнює

$H=\frac{1}{2}a=0,5000000a,$

радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) -

$R=a=1,0000000a,$

радіус більшої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\rho }_1=\frac{\sqrt{3}}{2}a\approx 0,8660254a,$

радіус меншої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней)

${\rho }_2=\frac{1}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})a\approx 0,5176381a,$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок) -

$r=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)a\approx 0,2071068a.$

Центр вписаної гіперсфери розташовується всередині піраміди; центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер — в одній і тій самій точці поза пірамідою, симетричній вершині піраміди відносно її основи; центр меншої напіввписаної гіперсфери — в іншій точці поза пірамідою.

Таку піраміду можна отримати, взявши опуклу оболонку будь-якої вершини двадцятичотирьохкомірника і всіх 8 сусідніх вершин, з'єднаних із нею ребром.

Кут між двома суміжними пірамідальними комірками дорівнюватиме $120^{\circ },$ як і між суміжними октаедричними комірками у двадцятичотирьохкомірнику. Кут між кубічною коміркою і будь-якою пірамідальною становитиме $45^{\circ }.$

У координатах

Правильногранну кубічну піраміду з довжиною ребра $2$ можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати

• $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;0),$
• $(0;0;0;1).$

При цьому центри описаної та більшої напіввписаної гіперсфер розташовуватимуться в точці $(0;0;0;-1),$ центр меншої напіввписаної гіперсфери — у точці $(0;0;0;\sqrt{3}-2),$ центр вписаної гіперсфери — у точці $(0;0;0;\sqrt{2}-1).$

Заповнення простору

Тесеракт можна розрізати на 8 однакових правильногранних кубічних пірамід (з вершинами в центрі тесеракта і основами на його восьми кубічних комірках) — подібно до того, як куб розрізають на 6 квадратних пірамід (які, однак, у цьому випадку правильногранними не будуть).

А оскільки тесерактами можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень, правильногранна кубічна піраміда теж є багатокомірником, що заповнює чотиривимірний простір.

Довести це можна й інакше: розрізавши двадцятичотирьохкомірник (який також заповнює чотиривимірний простір) на 16 однакових правильногранних кубічних пірамід.

Посилання

• Richard Klitzing. Cubical pyramid