Клітинна гомологія

У математиці, а саме у алгебричній топології клітинною гомологією називається гомологічна теорія для категорії CW-комплексів. Вона узгоджується із сингулярною гомологією і часто дає ефективні методи для її обчислення.

Означення

Якщо $X$ є CW-комплексом і $X_{n}$ позначає його n-кістяк. Нехай $C_{k} (X_{n}, X_{n - 1})$ позначає групу ланцюгового комплексу для відносної гомології пари $(X_{n}, X_{n - 1}) .$ Відповідна відносна гомологічна група $H_{k} (X_{n}, X_{n - 1})$ є тривіальною групою для $k \neq n$ і вільною абелевою групою, генераторами якої є $n$ -клітини комплекса $X$ для $k = n$ .

Між групами $H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n})$ і $H_{n} (X_{n}, X_{n - 1})$ можна задати граничне відображення $d_{n + 1} : H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n}) \to H_{n} (X_{n}, X_{n - 1})$ як $d_{n + 1} = j_{n} \circ \partial_{n + 1},$ де $j_{n}$ є відображенням із гомологічної групи $H_{n} (X_{n})$ на відносну гомологічну групу пари $H_{n} (X_{n}, X_{n - 1}),$ а $\partial_{n + 1} : H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n}) \to H_{n} (X_{n})$ є зв'язуючим гомоморфізмом у довгій точній послідовності пари $(X_{n + 1}, X_{n}) .$

Більш конкретно якщо $x$ є елементом $H_{n} (X_{n})$ і $z \in Z_{n} (X_{n})$ — циклом, що представляє цей елемент, то $j_{n} (z)$ є класом гомології образу цього елемента у фактор-групі $C_{n} (X_{n}) / C_{n} (X_{n - 1})$ (цей образ теж буде циклом). Натомість, якщо $y$ є елементом $H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n})$ то згідно означень для $y$ існує представник $c \in C_{n + 1} (X_{n + 1}),$ для якого $\partial c = w,$ де $w \in C_{n} (X_{n}) .$ Тоді $\partial w = 0$ у $C_{n} (X_{n})$ оскільки граничне відображення цього елемента у $C_{n} (X_{n})$ і $C_{n} (X_{n + 1})$ є однаковими і в $C_{n} (X_{n + 1})$ елемент $w$ є граничним. Натомість у $C_{n} (X_{n})$ він може бути не граничним і для нього клас гомології може бути нетривіальним. $\partial_{n + 1} (y)$ за означенням є класом гомології елемента $w$ у $H_{n} (X_{n})$ .

Для граничних відображень $d_{n} \circ d_{n + 1} = 0$ , оскільки згідно означення $d_{n} \circ d_{n + 1} = j_{n - 1} \circ \partial_{n} \circ j_{n} \circ \partial_{n + 1}$ і $\partial_{n} \circ j_{n} = 0$ адже у лівій частині є композиція двох послідовних відображень у довгій точній послідовності пари $(X_{n}, X_{n - 1}) .$

Таким чином відносні гомологічні групи і граничні відображення $d_{n}$ утворюють ланцюговий комплекс:

\dots \to H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n}) \to H_{n} (X_{n}, X_{n - 1}) \to H_{n - 1} (X_{n - 1}, X_{n - 2}) \to \dots,

Гомології цього комплексу і називаються клітинними гомологіями комплексу $X$ .

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

Граничні відображення у комплексі також модна задати за допомогою степенів відображень. А саме, нехай $e_{n}^{α}$ є $n$ -клітиною $X$ і $χ_{n}^{α} : \partial e_{n}^{α} ≅ 𝕊^{n - 1} \to X_{n - 1}$ є її відображенням склеювання. Розглянемо композицію відображень

χ_{n}^{α β} : 𝕊^{n - 1} \overset{≅}{⟶} \partial e_{n}^{α} \overset{χ_{n}^{α}}{⟶} X_{n - 1} \overset{q}{⟶} X_{n - 1} / (X_{n - 1} ∖ e_{n - 1}^{β}) \overset{≅}{⟶} 𝕊^{n - 1},

де перше відображення ідентифікує $𝕊^{n - 1}$ із $\partial e_{n}^{α}$ , $e_{n - 1}^{β}$ є $(n - 1)$ -клітиною у X, третє відображення $q$ є фактор відображенням яке стискає $X_{n - 1} ∖ e_{n - 1}^{β}$ у точку (перетворюючи при цьому $e_{n - 1}^{β}$ у сферу $𝕊^{n - 1}$ ), і останнє відображення ідентифікує $X_{n - 1} / (X_{n - 1} ∖ e_{n - 1}^{β})$ із $𝕊^{n - 1}$ за допомогою характеристичного відображення $Φ_{n - 1}^{β}$ клітини $e_{n - 1}^{β}$ .

Тоді граничне відображення

d_{n} : H_{n} (X_{n}, X_{n - 1}) \to H_{n - 1} (X_{n - 1}, X_{n - 2})

на відповідному елементі задається формулою

d_{n} (e_{n}^{α}) = \sum_{β} \deg (χ_{n}^{α β}) e_{n - 1}^{β},

де $\deg (χ_{n}^{α β})$ є степенем відображення $χ_{n}^{α β}$ і сума береться за всіма $(n - 1)$ -клітинами у $X$ , що розглядаються як породжуючі елементи у $C_{n - 1} (X_{n - 1}, X_{n - 2})$ (оскільки за означенням CW-комплекса образ границі $n$ клітини при відображенні склеювання належить скінченній кількості $(n - 1)$ -клітин, то усі доданки у сумі крім скінченної кількості будуть нульовими).

Приклади

n-сфера

Для n-вимірної сфери Sⁿ існує клітинне розбиття із двома клітинами, однією 0-клітиною і однією n-клітиною. При цьому n-клітина приєднується за допомогою сталого відображення із $S^{n - 1}$ на 0-клітину. Оскільки породжуючими елементами груп $H_{k} (S_{k}^{n}, S_{k - 1}^{n})$ є k-клітини у розбитті Sⁿ, то $H_{k} (S_{k}^{n}, S_{k - 1}^{n}) = ℤ$ для $k = 0, n,$ а інші групи є тривіальними.

Тому для $n > 1$ , відповідний ланцюговий комплекс є рівним:

\dots \overset{\partial_{n + 2}}{⟶} 0 \overset{\partial_{n + 1}}{⟶} ℤ \overset{\partial_{n}}{⟶} 0 \overset{\partial_{n - 1}}{⟶} \dots \overset{\partial_{2}}{⟶} 0 \overset{\partial_{1}}{⟶} ℤ ⟶ 0,

і оскільки всі граничні відображення є відображеннями з або на тривіальні групи, вони всі є нульовими гомоморфізмами. Тож клітинні гомологічні групи є:

H_{k} (S^{n}) = {\begin{matrix} ℤ & k = 0, n \\ {0} & k \neq 0, n \end{matrix} .

Якщо $n = 1$ , то граничне відображення $\partial_{1}$ теж є нульовим, тож формула є справедливою для всіх додатних $n$ .

Поверхні роду g

За допомогою клітинної гомології можна також обчислити гомології поверхні роду g $Σ_{g}$ . Фундаментальним многокутником $Σ_{g}$ є $4 n$ -кутник і звідси одержується клітинне розбиття $Σ_{g}$ із однією 2-клітиною, $2 n$ 1-клітинами і однією 0-клітиною. 2-клітина приєднується вздовж границі $4 n$ -кутника, який містить кожну 1-клітину двічі, в різному порядку. Тому степінь відповідного відображення є рівним нулю. Також відображення склеювання для кожної 1-клітини має степінь рівний 0, оскільки це є відображення із $S^{0}$ на 0-клітину. Тож відповідний ланцюговий комплекс є

\dots \to 0 \overset{\partial_{3}}{\to} ℤ \overset{\partial_{2}}{\to} ℤ^{2 g} \overset{\partial_{1}}{\to} ℤ \to 0,

де всі граничні відображення є нульовими. Отже клітинна гомологія поверхні роду g є рівною

H_{k} (Σ_{g}) = {\begin{matrix} ℤ & k = 0, 2 \\ ℤ^{2 g} & k = 1 \\ {0} & k \neq 0, 1, 2 . \end{matrix}

Для неорієнтованих поверхонь роду g можна задати клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, g 1-клітинами, і 1-єю 2-клітиною. Гомологічні групи для цих поверхонь є рівними

H_{k} (Σ_{g}) = {\begin{matrix} ℤ & k = 0 \\ ℤ^{g - 1} \oplus ℤ_{2} & k = 1 \\ {0} & \neq 0, 1, 2 . \end{matrix}

Тор

Для n-тора $(S^{1})^{n}$ існує клітинне розбиття із 1-єю 0-клітиною, n 1-клітинами, ..., і 1-єю n-клітиною. Ланцюговий комплекс є

0 \to ℤ^{(\binom{n}{n})} \to ℤ^{(\binom{n}{n - 1})} \to \dots \to ℤ^{(\binom{n}{1})} \to ℤ^{(\binom{n}{0})} \to 0

і всі граничні відображення є нульовими.

Тому, $H_{k} ((S^{1})^{n}) ≃ ℤ^{(\binom{n}{k})}$ .

Комплексний проєктивний простір

Якщо $X$ не має клітин суміжної розмірності, (тобто якщо у ньому є n-клітини, то немає (n-1)-клітин і (n+1)-клітин), тоді $H_{n}^{C W} (X)$ є вільною абелевою групою породженою n-клітинами, для кожного $n$ .

Комплексний проєктивний простір $P^{n} ℂ$ можна одержати склеюванням 0-клітини, 2-клітини, ... і зрештою (2n)-клітини, тому $H_{k} (P^{n} ℂ) = ℤ$ для $k = 0, 2, . . ., 2 n$ , і $H_{k} (P^{n} ℂ) = {0}$ для непарних k.

Дійсний проєктивний простір

Дійсний проєктивний простір $ℝ P^{n}$ має клітинне розбиття із однією $k$ -клітиною $e_{k}$ для всіх $k \in {0, 1, \dots, n}$ . Відображеннями склеювання для цих $k$ -клітин є подвійне накриття $φ_{k} : S^{k - 1} \to ℝ P^{k - 1}$ . Тому зокрема $k$ -кістяк $ℝ P_{k}^{n} ≅ ℝ P^{k}$ для всіх $k \in {0, 1, \dots, n}$ . Також $C_{k} (ℝ P_{k}^{n}, ℝ P_{k - 1}^{n}) ≅ ℤ$ для всіх $k \in {0, 1, \dots, n}$ .

Для обчислення граничного відображення

d_{k} : H_{k} (ℝ P_{k}^{n}, ℝ P_{k - 1}^{n}) \to H_{k - 1} (ℝ P_{k - 1}^{n}, ℝ P_{k - 2}^{n}),

необхідно визначити степінь відображення

χ_{k} : S^{k - 1} \overset{φ_{k}}{⟶} ℝ P^{k - 1} \overset{q_{k}}{⟶} ℝ P^{k - 1} / ℝ P^{k - 2} ≅ S^{k - 1} .

Для цього слід зауважити, що $φ_{k}^{- 1} (ℝ P^{k - 2}) = S^{k - 2} \subseteq S^{k - 1}$ , і для кожної точки $x \in ℝ P^{k - 1} ∖ ℝ P^{k - 2}$ , прообраз $φ^{- 1} ({x})$ складається із двох точок, по одній у кожній компоненті зв'язності (відкритій напівсфері) $S^{k - 1} ∖ S^{k - 2}$ . Тому для знаходження степеня відображення $χ_{k}$ , достатньо знайти локальні степені $χ_{k}$ на кожній із цих відкритих напівсфер. Нехай вони позначаються $B_{k}$ і ${\tilde{B}}_{k}$ . Тоді $χ_{k} |_{B_{k}}$ і $χ_{k} |_{{\tilde{B}}_{k}}$ є гомеоморфізмами і $χ_{k} |_{{\tilde{B}}_{k}} = χ_{k} |_{B_{k}} \circ A$ , де $A$ є антиподальним відображенням. Степінь $A$ на $S^{k - 1}$ є рівним $(- 1)^{k}$ . Тому можна вважати, що локальний степінь $χ_{k}$ на $B_{k}$ є рівним $1$ і тоді локальний степінь $χ_{k}$ на ${\tilde{B}}_{k}$ є рівним $(- 1)^{k}$ . Додаючи локальні степені можна одержати значення степеня відображення

\deg (χ_{k}) = 1 + (- 1)^{k} = {\begin{matrix} 2 & k = 2 j \\ 0 & k = 2 j + 1 \end{matrix} .

Тоді граничне відображення $\partial_{k}$ є множенням на $\deg (χ_{k})$ у групі цілих чисел, і звідси утворюється ланцюговий комплекс:

0 ⟶ ℤ \overset{\partial_{n}}{⟶} \dots \overset{2}{⟶} ℤ \overset{0}{⟶} ℤ \overset{2}{⟶} ℤ \overset{0}{⟶} ℤ ⟶ 0,

де $\partial_{n} (a) = 2 a$ якщо $n$ є парним числом і $\partial_{n} (a) = 0$ якщо $n$ є непарним числом.

Із цього комплексу обчислюється клітинна гомологія для $ℝ P^{n}$ :

H_{k} (ℝ P^{n}) = {\begin{matrix} ℤ & if k = 0 і k = n odd, \\ ℤ / 2 ℤ & if 0 < k < n odd, \\ 0 & otherwise. \end{matrix}

Інші властивості

$n$ -кістяк однозначно визначає всі гомологічні модулі нижчих порядків:

H_{k} (X) ≅ H_{k} (X_{n})

для

k < n

.

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

Для CW-комплекса гомологічні групи у клітинній гомології є ізоморфними гомологічним групам сингулярної гомології. Якщо для простору існує триангуляція то клітинна гомологія також є ізоморфною симпліційній.

Доведення еквівалентності сингулярної і клітинної гомологій здійснюється за допомогою аналізу точних послідовностей для пари просторів $(X_{n}, X_{n - 1})$ і ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології.

Нехай

\dots \to H_{r + 1} (X_{n}, X_{n - 1}) \overset{\partial}{\to} H_{r} (X_{n - 1}) \overset{i}{\to} H_{r} (X_{n}) \overset{j}{\to} H_{r} (X_{n}, X_{n - 1}) \to \dots

є частиною точної послідовності пари $(X_{n}, X_{n - 1}) .$ Оскільки $H_{r} (X_{n}, X_{n - 1}) = 0$ для $r \neq n$ то $i : H_{r} (X^{n - 1}) \to H_{r} (X^{n})$ є ізоморфізмом для $r \neq n - 1, n .$ Тому для $r > n$ буде

H_{r} (X_{n}) ≅ H_{r} (X_{n - 1}) ≅ \dots ≅ H_{r} X_{- 1} = 0 .

Звідси також випливає, що відображення $j : H_{n} (X_{n}) \to H_{n} (X_{n}, X_{n - 1})$ є ін'єктивним.

Нехай тепер

H_{n + 1} (X_{n + 1}, X_{n}) \overset{\partial_{n + 1}}{\to} H_{n} (X_{n}) \overset{j_{n}}{\to} H_{n} (X_{n}, X_{n - 1}) \overset{\partial_{n}}{\to} H_{n - 1} (X_{n - 1}) \overset{j_{n - 1}}{\to} H_{n} (X_{n - 1}, X_{n - 2})

є частиною ланцюгового комплексу із означення клітинної гомології із проміжними відображеннями. Для спрощення надалі також позначатиметься $C_{n} : = H_{n} (X_{n}, X_{n - 1})$ із відповідними позначеннями для ядер, границь і гомологій цього комплексу.

Оскільки відображення $j_{n - 1}$ є ін'єктивним, то

Z_{n} (C) = \ker \partial_{n} = im j_{n} ≅ H_{n} (X^{n})

де останній ізоморфізм випливає із ін'єктивності $j_{n} .$

Звідси

H_{n} (C) = Z_{n} (C) / B_{n} (C) ≅ H_{n} (X_{n}) / im \partial_{n + 1}

.

Але із довгої точної послідовності для пари $(X_{n + 1}, X_{n})$ випливає, що

im \partial_{n + 1} = \ker [i_{n + 1} : H_{n} (X_{n}) \to H_{n} (X_{n + 1})]

і тому відповідно

H_{n} (C) = im [i_{n + 1} : H_{n} (X_{n}) \to H_{n} (X_{n + 1})] .

Але оскільки $H_{n} (X_{n + 1}, X_{n}) = 0$ знову ж використовуючи довгу точну послідовність для пари просторів $(X_{n + 1}, X_{n})$ остаточно $H_{n} (C) ≅ H_{n} (X_{n + 1}) .$

Але із вказаних вище ізоморфізмів

H_{n} (X_{n + 1}) ≅ H_{n} (X_{n + 2}) ≅ H_{n} (X_{n + 3}) ≅ \dots

Це завершує доведення у випадку скінченновимірного комплексу, тобто у випадку $X = X_{m}$ для деякого додатного $m .$

У нескінченновимірному випадку кожен цикл $z$ , що представляє елемент у $H_{n} (X)$ є формальною скінченною сумою сингулярних симплексів, що є образами неперервних відображень із стандартного симплекса. Оскільки кожен такий образ є компактною множиною то всі вони загалом містяться у деякому скінченному підкомплексі і тому зокрема $z$ є елементом $S_{n} (X_{p})$ де можна вважати, що $p > n .$ Але, як вказано вище $H_{n} (X_{n + 1}) ≅ H_{n} (X_{p})$ і тому всі елементи $H_{n} (X)$ мають відповідники у $H_{n} (C) ≅ H_{n} (X_{n + 1}) .$ Іншими словами існує сюр'єктивний гомоморфізм із $H_{n} (C)$ у $H_{n} (X)$ . Подібним чином, якщо деякий елемент $H_{n} (X_{n + 1})$ є рівним нулю у $H_{n} (X)$ , то він має бути нульовим у $H_{n} (X_{p})$ і з $H_{n} (X_{n + 1}) ≅ H_{n} (X_{p})$ випливає, що сам цей елемент є нулем. Тобто гомоморфізм із $H_{n} (C) ≅ H_{n} (X_{n + 1})$ у $H_{n} (X)$ є також ін'єктивним, що завершує доведення еквівалентності.

Узагальнення

Спектральна послідовність Атії — Хірцебруха є аналогічним методом обчислення(ко)гомології для CW-комплекса, для довільної екстраординарної (ко)гомологічної теорії.

Характеристика Ейлера

Для CW-комплексу $X$ із скінченно кількістю клітин, нехай $c_{j}$ позначає кількість $j$ -клітин, тобто ранг $C_{j} (X_{j}, X_{j - 1})$ як вільної абелевої групи. Характеристика Ейлера комплекса $X$ за означенням є рівною

χ (X) = \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} c_{j} .

Характеристика Ейлера є гомотопним інваріантом. У термінах чисел Бетті для $X$ :

χ (X) = \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} Rank (H_{j} (X)) .

Це випливає із довгої точної послідовності відносної гомології для трійки $(X_{n}, X_{n - 1}, \emptyset)$ :

\dots \to H_{i} (X_{n - 1}, \emptyset) \to H_{i} (X_{n}, \emptyset) \to H_{i} (X_{n}, X_{n - 1}) \to \dots .

Розбиваючи цю послідовність на короткі точні послідовності можна одержати співвідношення:

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} Rank (H_{i} (X_{n}, \emptyset)) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} Rank (H_{i} (X_{n}, X_{n - 1})) + \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} Rank (H_{i} (X_{n - 1}, \emptyset)) .

і такі ж для $(X_{n - 1}, X_{n - 2}, \emptyset)$ , $(X_{n - 2}, X_{n - 3}, \emptyset)$ , і т.д. За індукцією:

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} Rank (H_{i} (X_{n}, \emptyset)) = \sum_{j = 0}^{n} \sum_{i = 0}^{j} (- 1)^{i} Rank (H_{i} (X_{j}, X_{j - 1})) = \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} c_{j} .

Див. також

Література

Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer ISBN 3-540-58660-1.
Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1.

Клітинна гомологія

Зміст

Означення

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

Приклади

n-сфера

Поверхні роду g

Тор

Комплексний проєктивний простір

Дійсний проєктивний простір

Інші властивості

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

Узагальнення

Характеристика Ейлера

Див. також

Література

Навігаційне меню

Клітинна гомологія

Означення

Граничні відображення за допомогою степенів відображень

Приклади

n-сфера

Поверхні роду g

Тор

Комплексний проєктивний простір

Дійсний проєктивний простір

Інші властивості

Еквівалентність клітинної і сингулярної гомологій

Узагальнення

Характеристика Ейлера

Див. також

Література

Навігаційне меню

Пошук