Матриця мас

В аналітичній механіці матриця мас — симетрична матриця M, яка виражає зв'язок між похідною за часом $\dot{q}$ вектора узагальнених координат $q$ системи та кінетичною енергією $T$ цієї системи за рівнянням

$T=\frac{1}{2}{\dot{𝐪}}^{\mathsf{\text{T}}}𝐌\dot{𝐪}$

де ${\dot{𝐪}}^{\mathsf{\text{T}}}$ позначає транспонування вектора $\dot{𝐪}$. Це рівняння аналогічне формулі для кінетичної енергії частинки з масою $m$ і швидкістю $v$, а саме

$T=\frac{1}{2}m|𝐯{|}^2=\frac{1}{2}𝐯\cdot m𝐯$

і може бути отримане з неї, якщо виразити положення кожної частинки системи через q.

У загальному випадку матриця мас М залежить від стану q і тому змінюється з часом.

Лагранжева механіка дає звичайне диференціальне рівняння (фактично, систему пов'язаних диференціальних рівнянь), яке описує еволюцію системи в термінах довільного вектора узагальнених координат, який повністю визначає положення кожної частинки в системі. Наведена вище формула кінетичної енергії є одним із членів цього рівняння, яке представляє загальну кінетичну енергію всіх частинок.

Приклади

Система мас в одному просторовому вимірі

Наприклад, розглянемо систему, що складається із двох точкових мас, обмежених прямою лінією. Стан цих систем можна описати вектором двох узагальнених координат, а саме положеннями двох частинок уздовж лінії.

$q={\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]}^{\mathsf{\text{T}}}$,

Припустимо, що частинки мають маси $m_1$, $m_2$, кінетична енергія системи

$T=\sum _{i=1}^2\frac{1}{2}{m}_i{\dot{x_i}}^2$

Цю формулу також можна записати як

$T=\frac{1}{2}{\dot{q}}^{\mathsf{\text{T}}}M\dot{q}$

де

$M=\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]$

Система N тіл

У загальнішому випадку розглянемо систему $N$ частинок, позначених індексами i = 1, 2, …, N, де положення частинки з номером $i$ визначається $n_i$ вільними декартовими координатами (де $n_i$ дорівнює 1, 2 або 3). Нехай $q$ — вектор стовпця, що містить усі ці координати. Матриця мас $M$ являє собою діагональну блокову матрицю, де в кожному блоці діагональні елементи це маси відповідних частинок:

$M=\mathrm{diag}[m_1{I}_{n_1},m_2{I}_{n_2},\dots ,m_N{I}_{n_N}]$

де $I_{n_i}$ — одинична матриця $n_i\times n_i$ або повніше:

$M=\left[\begin{array}{cccccccccc}{m}_1& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & m_1& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& m_2& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & m_2& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & m_N& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & m_N\end{array}\right]$

Обертова гантеля

Оберотова гантеля

Як менш тривіальний приклад розглянемо два точкові об'єкти з масами $m_1$, $m_2$, прикріплених до кінців жорсткого безмасового стрижня довжиною $2R$, причому вузол може вільно обертатися і ковзати по фіксованій площині. Стан системи можна описати узагальненим координатним вектором

$q=\left[\begin{array}{ccc}x& y& \alpha \end{array}\right]$

де $x$, $y$ — декартові координати середньої точки стрижня і $\alpha$ — кут між стрижнем і деяким довільним опорним напрямком. Положення та швидкості двох частинок

$\begin{array}{cccc}{x}_1& =(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )& v_1& =(\dot{x},\dot{y})+R\dot{\alpha }(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\ x_2& =(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )& v_2& =(\dot{x},\dot{y})-R\dot{\alpha }(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{array}$

та їх загальна кінетична енергія

$2T=m{\dot{x}}^2+m{\dot{y}}^2+m{R}^2{\dot{\alpha }}^2-2Rd\sin (\alpha )\dot{x}\dot{\alpha }+2Rd\cos (\alpha )\dot{y}\dot{\alpha }$

де $m=m_1+m_2$ і $d=m_1-m_2$. Цю формулу можна записати у вигляді матриці

$T=\frac{1}{2}{\dot{q}}^{\mathsf{\text{T}}}M\dot{q}$

де

$M=\left[\begin{array}{ccc}m& 0& -Rd\sin \alpha \\ 0& m& Rd\cos \alpha \\ -Rd\sin \alpha & Rd\cos \alpha & R^{2}m\end{array}\right]$

Зауважте, що матриця залежить від поточного кута $\alpha$ стрижня.

Механіка суцільних середовищ

Для дискретних наближень механіки суцільних середовищ, як у методі скінченних елементів може бути кілька способів побудови матриці мас, залежно від необхідної продуктивності обчислень і точності. Наприклад, метод із зосередженими масами, де деформація кожного елемента нехтується, створює діагональну матрицю мас і усуває необхідність інтегрувати масу за деформованим елементом.

Див. також

• Момент інерції
• Тензор енергії-імпульсу
• Шаблон:Нп