Поверхня Больци

Поверхня Больци (крива Больци) — компактна ріманова поверхня роду 2 з максимальним можливим порядком конформної групи автоморфізмів для цього порядку, а саме, з групою GL₂(3) порядку 48. Повна група автоморфізмів (включно з відобиттями) є напівпрямим добутком $G{L}_2(3)⋊{\mathbb{Z}}_2$ порядку 96. Афінну модель поверхні Больци можна отримати як геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню

$y^2=x^5-x$

в ${ℂ}^2$. Поверхня є Шаблон:Не перекладено афінної кривої. З усіх гіперболічних поверхонь роду 2 поверхня Больци має найвищу систолу. Як гіпереліптична ріманова поверхня вона виникає як розгалужене подвійне покриття ріманової сфери з точками розгалуження в шести вершинах правильного Шаблон:Не перекладено, вписаного в сферу, що видно з наведеної формули.

Увів Шаблон:Нп 1887 року.

Трикутна поверхня

Замощення поверхні Больци відображеннями області є часткою Шаблон:Не перекладено .

Поверхня Больци є (2,3,8)-трикутною поверхнею (трикутник Шварца): фуксова група, що визначає поверхню Больцы, є підгрупою групи, утвореної відбиттями відносно сторін гіперболічного трикутника з кутами $\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{8}$. Ця підгрупа є підгрупою з індексом групи відбиттів, що складається з добутку парного числа відбиттів і має абстрактне подання в термінах генераторів $s_2,s_3,s_8$ та відношень $s_2{}^2=s_3{}^3=s_8{}^8=1$, а також $s_2{s}_3=s_8$. Фуксова група $\mathrm{\Gamma }$, яка визначає поверхню Больци, є також підгрупою (3,3,4) групи трикутника, яка є підгрупою з індексом 2 групи трикутника (2,3,8). Група (2,3,8) немає реалізації у термінах алгебри кватерніонів, але група (3,3,4) — має.

Під дією $\mathrm{\Gamma }$ на диск Пуанкаре фундаментальною областю поверхні Больци є правильний восьмикутник з кутами $\frac{\pi }{4}$ у точках

$p_k=2^{-\frac{1}{4}}{e}^{i(\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4})}$ ,

де $k=0,\dots ,7$. Протилежні сторони восьмикутника ототожнюються під впливом фуксової групи. Генераторами служать матриці:

$g_k=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{2}& (2+\sqrt{2})\alpha e^{i\frac{k\pi }{4}}\\ (2+\sqrt{2})\alpha e^{-i\frac{k\pi }{4}}& 1+\sqrt{2}\end{array}\right)$,

де $\alpha =\sqrt{\sqrt{2}-1}$ і $k=0,\dots ,3$, разом із оберненими їм. Генератори задовольняють співвідношенню:

$g_0{g}_1^{-1}{g}_2{g}_3^{-1}{g}_0^{-1}{g}_1{g}_2^{-1}{g}_3=1.$

Див. також

• Гіпереліптична крива
• Шаблон:Не перекладено
• Поверхня Макбіта

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга