Скінченна p-група

Шаблон:Теорія груп Група називається скінченною $p$-групою, якщо вона має порядок, рівний деякому степеню простого числа.

Основні властивості скінченних p-груп

Нехай $P$ — скінченна $p$-група, тоді

• $P$ — нільпотентна;
• $|Z(P)|>1$, де $Z(P)$ — центр групи P;
• для будь-кого $1\le k<n$ в $P$ існує нормальна підгрупа порядку $p^k$;
• якщо $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$;
• $P^{\prime }\le \mathrm{\Phi }(P)$;
• $P/\mathrm{\Phi }(P)\cong E_{p^d}$.

Деякі класи скінченних p-груп

У цьому розділі описано визначення та властивості деяких класів скінченних $p$-груп, які найчастіше розглядаються в науковій літературі.

p-групи максимального класу

Скінченну $p$-групу порядку $p^n$називають групою максимального класу, якщо її степінь нільпотентності дорівнює $n-1$.

Якщо $P$ — скінченна $p$-група максимального класу, то $P^{\prime }=\mathrm{\Phi }(P)$ і $|Z(P)|=p$.

Єдиними 2-групами порядку $2^n$ максимального класу є: діедральна група $D_{2^n}$, узагальнена група кватерніонів $Q_{2^n}$ та напівдіедральна група $S{D}_{2^n}$ .

На відміну від 2-груп, випадок p-груп максимального класу при p>2 значно складніший.

p-центральні p-групи

Скінченну $p$-групу називають $p$-центральною, якщо ${\mathrm{\Omega }}_1(P)\le Z(P)$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю потужної $p$-групи.

Потужні p-групи

Скінченну $p$-групу називають потужною, якщо $[P,P]\le P^p$ при $p\ne 2$ і $[P,P]\le P^4$ при $p=2$. Поняття двоїсте, у певному сенсі, поняттю $p$-центральної $p$-групи.

Регулярні p-групи

Скінченну $p$-групу $P$ називають регулярною, якщо для будь-яких $x,y\in P$ виконано $(xy{)}^p=x^p{y}^p{c}^p$, де $c\in P^{\prime }$. Регулярними є, наприклад, усі абелеві $p$-групи. Групу, яка не є регулярною, називають нерегулярною.

• Будь-яка підгрупа та фактор-група регулярної $p$-групи регулярна.
• Скінченна $p$-група регулярна, якщо її підгрупа, породжена двома елементами, регулярна.
• Скінченна $p$-група порядку не більшого $p^p$ є регулярною.
• Скінченна $p$-група, клас нільпотентності якої менше $p$, є регулярною. Також регулярні всі групи класу нільпотентності 2 при $p>2$.
• Будь-яка скінченна неабелева 2-група є нерегулярною.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних $p$-груп порядку $p^n$

• Число неізоморфних груп порядку $p$ дорівнює 1: група $C_p$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^2$ дорівнює 2: групи $C_{p^2}$ і $C_p\times C_p$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^3$ дорівнює 5, з них три абелеві групи: $C_{p^3}$, $C_{p^2}\times C_p$, $C_p\times C_p\times C_p$ і дві неабелеві: при $p>2$ — $E_{p^3}^{+}$ і $E_{p^3}^{-}$ ; при p = 2 — $D_4$, $Q_8$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^4$ дорівнює 15 при $p>2$, число груп порядку $2^4$ дорівнює 14.
• Число неізоморфних груп порядку $p^5$ дорівнює $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ при $p\ge 5$. Число груп порядку $2^5$ дорівнює 51, число груп порядку $3^5$ дорівнює 67.
• Число неізоморфних груп порядку $p^6$ дорівнює $3p^2+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$ при $p\ge 5$. Число груп порядку $2^6$ дорівнює 267, число груп порядку $3^6$ дорівнює 504.
• Число неізоморфних груп порядку $p^7$ дорівнює $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число груп порядку $2^7$ дорівнює 2328, число груп порядку $3^7$ дорівнює 9310, число груп порядку $5^7$ дорівнює 34297.

p-групи порядку $p^n$, асимптотика

При $n\to \mathrm{\infty }$ число неізоморфних груп порядку $p^n$ асимптотично дорівнює $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$.

Відомі проблеми теорії кінцевих p-груп

Група автоморфізмів скінченної p-групи

Для груп $p$-автоморфізмів скінченної $p$-групи існують нескладні верхні оцінки, проте оцінки знизу значно складніші. Протягом понад півстоліття залишається відкритою така гіпотеза:

• Нехай $P$ є нециклічною $p$-групою порядку $|P|\ge p^3$ тоді $|P|\le |Sy{l}_p(Aut(P))|$.

Цю гіпотезу підтверджено для великого класу $p$-груп: абелевих груп, всіх груп порядків не більше $p^7$, групи максимального класу. Однак загального підходу до цієї проблеми поки що не знайдено.

Гіпотеза Гігмена

Дж. Томпсон довів відому теорему, яка стверджує, що скінченна група з регулярним автоморфізмом простого порядку $q$ нільпотентна.

• Нехай група $P$ має регулярний автоморфізм простого порядку $q$. Тоді її клас нільпотентності дорівнює $cl(P)=\frac{q^2-1}{4}$.

Поки що доведено лише значно слабші оцінки: $cl(P)<q^q$ (Кострикін, Крекнін).

Послаблена гіпотеза Бернсайда

Гіпотеза Бернсайда полягала в тому, що, якщо є група з $m$ твірними та періодом $n$ (тобто всі її елементи $x$ задовольняють співвідношенню $x^n=1$), вона скінченна. Якщо це так, позначимо максимальну з цих груп через $B(m,n)$. Тоді всі інші групи з такою самою властивістю будуть її фактор-групами. Справді, як легко показати, група $B(m,2)$ є елементарною абелевою 2-групою. Ван дер Варден довів, що порядок групи $B(m,3)$ дорівнює $3^{\frac{m(m^2+5)}{6}}$. Однак, як показали Новіков і Адян, при $m\ge 2$ і за будь-якого непарного $n\ge 4381$ група $B(m,n)$ нескінченна.

Послаблена гіпотеза Бернсайда стверджує, що порядки скінченних $m$-породжених груп періоду $n$ обмежені. Цю гіпотезу довів Юхим Зельманов. Для скінченних $p$-груп вона означає, що існує лише скінченне число $p$-груп даної експоненти та з цим числом твірних.

Нерегулярні p-групи

Класифікація нерегулярних $p$-груп порядку $p^{p+1}$

Див. також

• GAP (система комп'ютерної алгебри)

Література

• Белоногов В. А. Задачник по теории групп — Шаблон:М.: Наука, 2000.
• Шаблон:Вінберг.Курс алгебри
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — Шаблон:М., 1962.
• Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
• Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
• Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
• Шаблон:Нп Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Шаблон:Нп Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
• Шаблон:Нп Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
• Шаблон:Нп, Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
• Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
• Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.