Фізичний маятник

Фізичний маятник.
$O$ — вісь підвісу;
$N$ — реакція осі підвісу;
$G$ — центр ваги;
$O^{\prime }$ — центр гойдання;
$\lambda$ — зведена довжина;
$\theta$ — кут відхилення маятника від рівноваги;
$\alpha$ — початковий кут відхилення маятника;
$m$ — маса маятника;
$h$ — відстань від точки підвісу до центру ваги маятника;
$g$ — прискорення вільного падіння.

Фізи́чний ма́ятник — тверде тіло довільної форми, яке під дією сили тяжіння здійснює коливання навколо нерухомої горизонтальної осі, що не проходить через центр маси тіла.

Основні характеристики

Період коливань фізичного маятника визначається формулою:

$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$,

де I — момент інерції, m — маса, d — віддаль від центра маси тіла до осі, g — прискорення вільного падіння.

Зведена довжина фізичного маятника — довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника. Вона дорівнює

$l_r=\frac{I}{md}$.

Диференціальне рівняння руху фізичного маятника

Момент інерції відносно осі, що проходить через точку підвісу за теоремою Штейнера:

$I=I_0+m{h}^2=m(r^2+h^2),$

де $I_0$ — момент інерції відносно осі проходить через центр ваги;

$r$ — ефективний радіус інерції відносно осі, що проходить через центр ваги.

Динамічне рівняння довільного обертання твердого тіла:

$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-M_s,$

де $M_s$ — сумарний момент сил, що діють на тіло відносно осі обертання.

$M_s=M+M_f,$

де $M$ — момент сил, викликаний силою тяжіння;

$M_f$ — момент сил, викликаний силами тертя середовища.

Момент викликаний силою тяжіння залежить від кута відхилення тіла від положення рівноваги:

$M=mgh\sin \theta$

Якщо знехтувати опором середовища, диференціальне рівняння коливань фізичного маятника в полі сили тяжіння:

$I\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mgh\sin \theta$.

Якщо розділити обидві частини рівняння на $h$ і покласти $\lambda =\frac{r^2+h^2}{h}=\frac{r^2}{h}+h,$ то рівняння буде:

$\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-g\sin \theta .$

Таке рівняння аналогічне рівнянню коливань математичного маятника довжини $\lambda$. Величину $\lambda$ називають зведеною довжиною фізичного маятника.

Центр гойдання фізичного маятника

Центр гойдання — точка, в якій треба зосередити всю масу фізичного маятника, щоб його період коливань не змінився.

Помістимо на промені, що проходить від точки підвісу через центр ваги, точку на відстані $\lambda$ від точки підвісу. Ця точка і буде центром гойдання маятника.

Дійсно, якщо всю масу зосередити в центрі гойдання, то центр гойдання буде збігатися з центром ваги. Тоді момент інерції відносно осі підвісу дорівнюватиме $I=m{\lambda }^2$, а момент сили тяжіння відносно тієї ж осі $-mg\lambda \sin \theta$. При цьому рівняння руху не зміниться.

Теорема Гюйгенса

Формулювання

Якщо фізичний маятник підвісити за центр гойдання, то його період коливань не зміниться, а колишня точка підвісу зробиться новим центром гойдання.

Доведення

Обчислимо зведену довжину нового маятника:

${\lambda }_1=\frac{r^2}{r^2/h}+\frac{r^2}{h}=h+\frac{r^2}{h}=\lambda$.

Збіг зведених довжин для двох випадків і доводить твердження теореми.

Період коливань фізичного маятника

Для того, щоб знайти період коливань фізичного маятника, необхідно розв'язати рівняння гойдання.

Для цього помножимо ліву $\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=\lambda \frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta }{dt}\right)$ і праву частини цього рівняння на $d\theta$. Тоді:

$\lambda \frac{d\theta }{dt}d\left(\frac{d\theta }{dt}\right)=-g\sin \theta d\theta$.

Інтегруючи це рівняння, отримуємо:

$\lambda {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2=2g\cos \theta +C$,

де $C$ — довільна стала.

Її можна знайти з граничної умови, що в моменти $\theta =\pm \alpha ,\frac{d\theta }{dt}=0$. Маємо:

$C=-2g\cos \alpha .$

Підставляємо і перетворюємо отримане рівняння:

$\frac{d\theta }{dt}=2\sqrt{\frac{g}{\lambda }}\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}.$

Відокремлюємо змінні й інтегруємо це рівняння:

$\sqrt{\frac{g}{\lambda }}t=\underset{0}{\overset{\frac{\theta }{2}}{\int }}\frac{d\left(\frac{\theta }{2}\right)}{\sqrt{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}}}.$

Зручно зробити заміну змінної $\sin \frac{\theta }{2}=\sin \frac{\alpha }{2}\sin \phi$. Тоді шукане рівняння набуде вигляду:

$t=\sqrt{\frac{\lambda }{g}}\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\sin }^2\phi }}=\sqrt{\frac{\lambda }{g}}F(\phi \setminus \alpha /2).$

Тут $F(\phi \setminus \alpha )$ — нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Для періоду коливань отримуємо формулу:

$T=4\sqrt{\frac{\lambda }{g}}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\sin }^2\phi }}=4\sqrt{\frac{\lambda }{g}}K(\sin \frac{\alpha }{2}).$

Тут $K(\sin \frac{\alpha }{2})$ — повний нормальний еліптичний інтеграл Лежандра 1-го роду. Розкладаючи його в ряд, можна отримати зручну для практичних обчислень формулу:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}\{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2{\sin }^4\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots +{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2{\sin }^{2n}\left(\frac{\alpha }{2}\right)+\dots \}.$

Період малих коливань фізичного маятника

Якщо $\alpha \ll 1,$ — випадок малих максимальних кутових відхилень від рівноваги, $\theta <\alpha ,$ то $\sin \theta \approx \theta$ оскільки розклад синуса в ряд Маклорена $\sin \theta \approx \theta -{\theta }^3/3\dots$ і рівняння руху переходить у рівняння гармонійного осцилятора без тертя:

$\lambda \frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-g\theta .$

Період коливань маятника в цьому випадку:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}.$

В іншому формулюванні: якщо амплітуда коливань $\alpha$ мала, то корінь у знаменнику еліптичного інтеграла наближено дорівнює одиниці. Такий інтеграл легко береться, і виходить добре відома формула малих коливань:

$T=2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}.$

Ця формула дає результати прийнятної точності (помилка менш Шаблон:Nobr при кутах, що не перевищують 4°.

Наступний порядок наближення можна використовувати з прийнятною точністю (помилка менше Шаблон:Nobr при кутах відхилення до 1 радіана (≈57°):

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{\lambda }{g}}(1+\frac{1}{4}{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right))=\frac{\pi }{4}\sqrt{\frac{\lambda }{g}}(9-\cos \alpha ).$

Див. також

• Маятник
• Математичний маятник
• Крутильний маятник
• Пружинний маятник

Посилання

• Шаблон:БСЭ
• Шаблон:БСЭ