Французька залізнична метрика

Основні залізничні магістралі Франції в 1856 році зходилися у Парижі

Французька залізнична метрика є незвичайним прикладом метрики.

Назва цієї метрики походить від дуже централізовано прокладеної (особливо раніше) залізничної мережі Франції, в якій майже всі шляхи сходилися у Парижі.

Внаслідок цього, наприклад, щоб дістатися залізницею зі Страсбурга до Ліона, треба було зробити гак в 400 км через Париж — доводилося миритися з тим, що немає прямого зв'язку.

Це спонукало одного невідомого математика визначити таку метрику: якщо $X$ є деякою множиною точок площини (міста Франції зі залізничним зв'язком через Париж) і $p$ — фіксована вибрана точка (Париж), то можна визначити на $X$ метрику $\rho :X\times X\to ℝ$ таким чином:

$\rho (x,y)=\{\begin{array}{c}\Vert x-y\Vert ,x-p=\lambda (y-p)\\ \Vert x-p\Vert +\Vert y-p\Vert ,x-p\ne \lambda (y-p)\end{array},x,y\in X,\lambda \in ℝ$

Тут $\rho (x,y)$ треба розуміти як відстань залізничним шляхом від міста $x$ до міста $y$.

Ця конструкція допускає елементарне узагальнення на будь-який нормований простір.

Властивості

У невиродженому випадку, тобто коли існують неколінеарні вектори, французька залізнична метрика — найпростіший приклад метрики, яка не є породженою нормою.

Дійсно, припустимо протилежне. Нехай така норма існує. Візьмемо два неколінеарні вектори $a$ і $b$, для яких $\left|a\right|⩽\left|b\right|$. Тоді вектори $a+b$ і $b$ також неколінеарні, і виконується $\rho (p+a,p)⩽\rho (p,p+b)<\rho (p+a+b,p+b)$.

Для метрики $d$, що породжена нормою, ця нерівність порушується:

$d(p+a,p)=|p+a-p|=|a|\le d(p,p+b)=|p-p-b|=|-b|=|b|<d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|$

Отже, не існує норми $\Vert \cdot \Vert$, яка породжує французьку залізничну метрику в тому сенсі, що $\rho (x,y)=\Vert x-y\Vert$.

Назви при p = 0

Для норми $\Vert \cdot \Vert$ на ${ℝ}^2$ метрикою французького метро називається метрика на ${ℝ}^2$, що визначена як.:

$\rho (x,y)=\{\begin{array}{c}\Vert x-y\Vert ,x=\lambda y\\ \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,x\ne \lambda y\end{array},x,y\in X,\lambda \in ℝ$

Іншими словами, метрика французького метро визначена як довжина найкоротшого шляху з точки x до точки y, якщо x, y і початок координат знаходяться на одній прямій, і довжина найкоротшого шляху з x до y, що проходить через початок координат, у протилежному випадку.

Метрика французького метро збігається з французькою залізничною метрикою в окремому випадку, коли Париж знаходиться у початку координат (p = 0).

Для евклідової норми $\Vert \cdot {\Vert }_2$ метрика французького метро називається також паризькою метрикою, метрикою їжака, радикальною метрикою або посиленою метрикою SNCF.

Метрика британської залізниці

Для норми $\Vert \cdot \Vert$ на ${ℝ}^2$ (в загальному випадку на ${ℝ}^n$) метрикою британської залізниці називається метрика на ${ℝ}^2$ (на ${ℝ}^n$), визначена як

$\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$,

якщо $x\ne y$, і як 0 у протилежному випадку. Її називають також метрикою пошти (Post Office metric), метрикою гусениці і метрикою човника.

Іншими словами, у відповідності до метрики британської залізниці доводиться робити гак через початок координат завжди, якщо пункт відправлення не збігається з пунктом призначення.

У Великій Британії метрику британської залізниці (British Rail metricШаблон:Ref-en) іноді називають метрикою французького метро.

Приклади

p	x	y	ФЗМ	МФМ	МБЗ
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+\sqrt{61}$	$3+\sqrt{61}$	$3+\sqrt{61}$
	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	$\sqrt{45}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$\sqrt{10}+5$	$3$	$\sqrt{45}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	$\sqrt{40}$	$3+\sqrt{61}$	$3+\sqrt{61}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	$\sqrt{164}+\sqrt{234}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

Див. також

• Манхеттенська метрика
• Відстань Чебишова