Їжак (топологія)

Шаблон:Інші значення Їжак у загальній топології — приклад метризовного простору. Будується з центральної точки $O$, одиничного півінтервалу $\mathbb{P}=(0,1]$ і довільної множини $S$ заданої потужності $𝔪$, яку називають колючістю їжака, як:

$J(𝔪)=\{O\}\cup (\mathbb{P}\times S)$,

із введенням метрики в такий спосіб:

1. $d(O,(x,s))=x$
2. $d((x,s_1),(y,s_2))=\{\begin{array}{cc}|x-y|,& s_1=s_2\\ x+y,& s_1\ne s_2\end{array}$.

Назва виникла через асоціацію з «голками», що стирчать з відрізка, «колючість» у цій асоціації зіставляється з кількістю голок. Таким чином, $J(0)$ — просто точка $O$, $J(1)=J(2)$ — відрізок.

Властивості

Їжак заданої колючості не залежить від вибору множини $S$ із точністю до гомеоморфізму.

Їжак є повним простором, також не є цілком обмеженим простором, при $𝔪⩾\omega$Шаблон:Sfn, не сильно паракомпактний при $𝔪>\omega$Шаблон:Sfn.

Не є локально сепарабельним при $𝔪>\omega$Шаблон:Sfn.

$J(𝔪)$ вкладається в $J(𝔫)$ при $𝔪⩽𝔫$.

$J(𝔪)$ вкладається в площину ${ℝ}^2$ тільки при $𝔪<\omega$ (вже у зліченному випадку характер центра їжака стає незліченним).

Якщо $𝔪$ — скінченна, то вага, щільність, характер, Шаблон:Не перекладено і число Ліндельофа їжака $J(𝔪)$ дорівнюють $\omega$. Інакше (при $𝔪⩾\omega$) вага і характер дорівнюють $2^{𝔪}$, а щільність, клітковість і число Ліндельофа — $𝔪$.

Цікаві відомості

Квадрат триноги $J(3)$ не вкладається у тривимірний евклідів простір ${ℝ}^3$.

На площині (${ℝ}^2$) неможливо розташувати незліченну кількість тріодів $J(3)$ так, щоб вони попарно не перетиналися.

Відкрите відображення їжака — знову їжак, не більшої колючості (тут треба акуратно розуміти збіги випадків$J(1)$ і $J(2)$).

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.