Формула Фаа ді Бруно

Шаблон:Числення Формула Фаа ді Бруно — математична тотожність, що узагальнює правило ланцюга до вищих похідних, названих на честь Франческо Фаа ді Бруно, хоча він не був першим, хто заявив або довів цю формулу. У 1800 році, понад 50 років до Фаа ді Бруно, французький математик Луї Франсуа Антуан Арбогаст виклав формулу в підручнику з обчисленням вважаючи першим опублікованим посилання на цю тему.

Найвідоміша форма формули Фаа ді Бруно виглядає як

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!1{!}^{m_1}{m}_2!2{!}^{m_2}\cdots m_n!n{!}^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots +m_n)}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^n{(g^{(j)}(x))}^{m_j},$

де сума біжить по всім n-кортежам невід’ємних цілих чисел (m₁, ..., m_n), що задовольняють умові

$1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots +n\cdot m_n=n.$

Іноді, щоб надати йому пам’ятну картину, вона записується так, що коефіцієнти, що мають комбінаторне тлумачення, про які йде мова нижче, менш явні:

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!m_2!\cdots m_n!}\cdot f^{(m_1+\cdots +m_n)}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^n{\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)}^{m_j}.$

Поєднання доданків з однаковим значенням m₁ + m₂ + ... + m_n = k і помічаючи, що m_j має дорівнювати нулю для j > n − к +1 призводить до дещо простішої формули, вираженої в термінах многочленів Белла B_n,k (x₁, ..., x_{n − k +1}):

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=\sum _{k=1}^n{f}^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}(g^{\prime }(x),g^{″}(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)).$

Комбінаторна форма

Формула має "комбінаторну" форму:

$\frac{d^n}{d{x}^n}f(g(x))=(f\circ g{)}^{(n)}(x)=\sum _{\pi \in \mathrm{\Pi }}{f}^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod _{B\in \pi }{g}^{(\left|B\right|)}(x)$

де

• Шаблон:Pi проходить через безліч Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
• " B ∈ Шаблон:Pi " означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розбиття Шаблон:Pi, і
• |А| позначає кардинальність множини A (так що |Шаблон:Pi| - кількість блоків у розділі Шаблон:Pi а |B| - розмір блоку B).

Приклад

Далі йде конкретне пояснення комбінаторної форми для Шаблон:Math випадку.

$\begin{array}{cc}(f\circ g{)}^{⁗}(x)=& f^{⁗}(g(x))g^{\prime }(x{)}^4+6f^{‴}(g(x))g^{″}(x)g^{\prime }(x{)}^2\\ & +3f^{″}(g(x))g^{″}(x{)}^2+4f^{″}(g(x))g^{‴}(x)g^{\prime }(x)\\ & +f^{\prime }(g(x))g^{⁗}(x).\end{array}$

Шаблон:

$\begin{array}{ccccccccccccc}{g}^{\prime }(x{)}^4& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1& & \leftrightarrow & & f^{⁗}(g(x))& & \leftrightarrow & & 1\\ g^{″}(x)g^{\prime }(x{)}^2& & \leftrightarrow & & 2+1+1& & \leftrightarrow & & f^{‴}(g(x))& & \leftrightarrow & & 6\\ g^{″}(x{)}^2& & \leftrightarrow & & 2+2& & \leftrightarrow & & f^{″}(g(x))& & \leftrightarrow & & 3\\ g^{‴}(x)g^{\prime }(x)& & \leftrightarrow & & 3+1& & \leftrightarrow & & f^{″}(g(x))& & \leftrightarrow & & 4\\ g^{⁗}(x)& & \leftrightarrow & & 4& & \leftrightarrow & & f^{\prime }(g(x))& & \leftrightarrow & & 1\end{array}$

Фактор $g^{″}(x)g^{\prime }(x{)}^2$ відповідає розбиттю 2 + 1 + 1 цілого числа 4 очевидним чином. Фактор $f^{‴}(g(x))$ що йде з нею, відповідає тому, що в цьому розділі є три суми. Коефіцієнт 6, що відповідає цим факторам, відповідає тому, що існує рівно шість розбиттів множини з чотирьох членів, які розбивають його на одну частину розміром 2 та дві частини розміром 1.

Аналогічно фактор $g^{″}(x{)}^2$ у третьому рядку відповідає розділ 2 + 2 цілого числа 4, (4, оскільки ми знаходимо четверту похідну), тоді як $f^{″}(g(x))$ відповідає тому, що існує дві суми (2 + 2) у тому розділі. Коефіцієнт 3 відповідає тому, що є $\frac{1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=3$ способи розподілу 4 об'єктів на групи   2. Це ж поняття стосується і інших.

Схема для запам'ятовування:

$\begin{array}{ccc}& \frac{D^1(f\circ g)}{1!}& =(f^{(1)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}}{1!}\\ & \frac{D^2(f\circ g)}{2!}& =(f^{(1)}\circ g)\frac{\frac{g^{(2)}}{2!}}{1!}& +(f^{(2)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}}{2!}\\ & \frac{D^3(f\circ g)}{3!}& =(f^{(1)}\circ g)\frac{\frac{g^{(3)}}{3!}}{1!}& +(f^{(2)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}}{1!}\frac{\frac{g^{(2)}}{2!}}{1!}& +(f^{(3)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}}{3!}\\ & \frac{D^4(f\circ g)}{4!}& =(f^{(1)}\circ g)\frac{\frac{g^{(4)}}{4!}}{1!}& +(f^{(2)}\circ g)(\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}}{1!}\frac{\frac{g^{(3)}}{3!}}{1!}+\frac{\frac{g^{(2)}}{2!}\frac{g^{(2)}}{2!}}{2!})& +(f^{(3)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}}{2!}\frac{\frac{g^{(2)}}{2!}}{1!}& +(f^{(4)}\circ g)\frac{\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}\frac{g^{(1)}}{1!}}{4!}\end{array}$

Комбінаторика коефіцієнтів Фаа ді Бруно

Ці коефіцієнти Фаа ді Бруно для розбиттів мають "замкнену форму". Кількість робиттів множини розміром n, що відповідає розбиттю числа

$n=\underset{m_1}{\underbrace{1+\cdots +1}}+\underset{m_2}{\underbrace{2+\cdots +2}}+\underset{m_3}{\underbrace{3+\cdots +3}}+\cdots$

цілого числа n дорівнює

$\frac{n!}{m_1!m_2!m_3!\cdots 1{!}^{m_1}2{!}^{m_2}3{!}^{m_3}\cdots }.$

Ці коефіцієнти виникають і в поліномах Белла, які мають відношення до дослідження кумулянтів.

Варіації

Версія з багатьма змінними

Нехай y = g (x₁, ..., x_n). Тоді виконується наступна ідентичність незалежно від того, чи є всі n змінних різними, або всі є однаковими, або ж розділені на кілька розрізнених класів нерозрізнювальних змінних (якщо це здається неясним, дивись зрозумілий приклад нижче):

$\frac{{\partial }^n}{\partial x_1\cdots \partial x_n}f(y)=\sum _{\pi \in \mathrm{\Pi }}{f}^{(\left|\pi \right|)}(y)\cdot \prod _{B\in \pi }\frac{{\partial }^{\left|B\right|}y}{\prod _{j\in B}\partial x_j}$

де (як вище)

• Шаблон:Pi пробігає по всій множині Π всіх розбиттів множини {1, ..., n },
• "B ∈ Шаблон:Pi" означає змінну B, що проходить через список усіх "блоків" розділу Шаблон:Pi, і
• |А| позначає кардинальність множини A (так що |Шаблон:Pi| - кількість блоків у розділі Шаблон:Pi а |B| - розмір блоку B ).

Більш загальні версії стосуються випадків, коли всі функції мають значення векторного та навіть банахового простору. У цьому випадку потрібно розглянути похідну Фреше або похідну Гато .

Приклад

П'ять членів у наступному виразі очевидним чином відповідають п'яти розділам множини {1, 2, 3}, і в кожному випадку порядок похідної f - кількість частин у розділі:

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^3}{\partial x_1\partial x_2\partial x_3}f(y)=& f^{\prime }(y)\frac{{\partial }^{3}y}{\partial x_1\partial x_2\partial x_3}\\ & +f^{″}(y)(\frac{\partial y}{\partial x_1}\cdot \frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_2\partial x_3}+\frac{\partial y}{\partial x_2}\cdot \frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_3}+\frac{\partial y}{\partial x_3}\cdot \frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_2})\\ & +f^{‴}(y)\frac{\partial y}{\partial x_1}\cdot \frac{\partial y}{\partial x_2}\cdot \frac{\partial y}{\partial x_3}.\end{array}$

Якщо три змінні не відрізняються одна від одної, то три з п'яти вищезазначених доданків також не відрізняються один від одного, і тоді ми маємо класичну формулу для однієї змінної.

Офіційна версія серії живлення

Припустимо $f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$ і $g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{x}^n$ є формальними степеневими рядами та $b_0=0$ .

Потім композиція $f\circ g$ знову формальний силовий ряд,

$f(g(x))=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n,$

де c₀ = a_0, а інший коефіцієнт c_n для n ≥ 1 можна виразити у вигляді суми за композиціями n або як еквівалентної суми зарозбиттями n:

$c_n=\sum _{𝐢\in {𝒞}_n}{a}_k{b}_{i_1}{b}_{i_2}\cdots b_{i_k},$

де

${𝒞}_n=\{(i_1,i_2,\dots ,i_k):1\le k\le n,i_1+i_2+\cdots +i_k=n\}$

набір композицій n з k, що позначає кількість деталей,

або

$c_n=\sum _{k=1}^n{a}_k\sum _{\mathit{\pi }\in {𝒫}_{n,k}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{{\pi }_1,{\pi }_2,...,{\pi }_n})b_1^{{\pi }_1}{b}_2^{{\pi }_2}\cdots b_n^{{\pi }_n},$

де

${𝒫}_{n,k}=\{({\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_n):{\pi }_1+{\pi }_2+\cdots +{\pi }_n=k,{\pi }_1\cdot 1+{\pi }_2\cdot 2+\cdots +{\pi }_n\cdot n=n\}$

- це набір розділів n на k частин у формі частоти частин.

Перша форма отримується вибором коефіцієнта xⁿ в $(b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots {)}^k$ "шляхом огляду", а друга форма потім отримується шляхом збирання подібних доданків або, альтернативно, шляхом застосування мультиноміальних коефіцієнтів.

Особливий випадок f (x) = e^x, g (x) = ∑_{n ≥ 1} a_n/n ! xⁿ дає експоненціальну формулу . Особливий випадок f (x) = 1/(1− x), g(x) = ∑_n≥1(-a_n) xⁿ дає вираз для оберненого формального ряду степеней ∑_{n ≥ 0} a_n xⁿ у випадку a₀ = 1.

Стенлі надає версію для експоненціальних силових рядів. Для формального степеневого ряду

$f(x)=\sum _n\frac{a_n}{n!}{x}^n,$

маємо n-похідну у 0:

$f^{(n)}(0)=a_n.$

Це не слід тлумачити як значення функції, оскільки цей ряд суто формальні; у цьому контексті немає такого поняття, як збіжність чи розбіжність.

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{b_n}{n!}{x}^n$

і

$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n!}{x}^n$

і

$g(f(x))=h(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{n!}{x}^n,$

тоді коефіцієнт c_n (що є n-тою похідною від h, взята у точці 0, якщо ми маємо справу з збіжними рядами, а не формальними рядами потужності) задається

$c_n=\sum _{\pi =\{B_1,\dots ,B_k\}}{a}_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|}{b}_k$

де Шаблон:Pi проходить через безліч усіх розділів множини {1, ..., n} і B₁, . . ., B_k - блоки розділу Шаблон:Pi, та | B_j | - кількість членів j-го блоку, для j = 1, ..., к .

Цей варіант формули особливо добре підходить для цілей комбінаторики .

Ми також можемо записати враховуючи наведенні вище позначення

$g(f(x))=b_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sum _{k=1}^n{b}_k{B}_{n,k}(a_1,\dots ,a_{n-k+1})}{n!}{x}^n,$

де B_n,k (a ₁, ..., a_{n − k +1})- поліноми Белла .

Особливий випадок

Якщо f (x) = e^x, то всі похідні f є однаковими і є фактором, спільним для кожного члена. У випадку, коли g ( x ) є твірною функцією кумулянтів, тоді f (g (x)) - є твірною функцією моментів, а многочлен у різних похідних g - це многочлен, який виражає моменти як функції кумулянтів .

Список літератури

Історичні дослідження та нариси

• Шаблон:Citation. "The mathematical work" is an essay on the mathematical activity, describing both the research and teaching activity of Francesco Faà di Bruno.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Науково-дослідні роботи

• Шаблон:Citation , Повністю вільно доступні з книг Google .
• Шаблон:Citation . Цілком вільно доступні з книг Google . Добре відомий документ, де Франческо Фаа ді Бруно представляє дві версії формули, яка тепер носить його ім'я, опублікована в журналі, заснованому Барнабою Тортоліні .
• Шаблон:Citation . Цілком вільно доступні з книг Google .
• Шаблон:Citation . Цілком вільно доступні з книг Google .
• Фландрія, Харлі (2001) "Від Форда до Фаа", Американський математичний щомісячник 108 (6): 558–61 Шаблон:DOI
• Шаблон:Citation .
• Шаблон:Citation Шаблон:Citation Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation Шаблон:Citation Шаблон:Citation .
• Шаблон:Citation , доступний у NUMDAM Шаблон:Webarchive . Цей документ, згідно з Шаблон:Harvtxt є одним із попередників Шаблон:Harvnb : зауважте, що автор підписується лише як "ТА", а віднесення до JFC Тібурса Абаді знову належить Джонсону.
• Шаблон:Citation , доступний у NUMDAM Шаблон:Webarchive . Цей документ, згідно з Шаблон:Harvtxt є одним із попередників Шаблон:Harvnb : зауважте, що автор підписується лише як "А.", а віднесення до JFC Tiburce Abadie знову належить Джонсону.

Зовнішні посилання

• Шаблон:MathWorld