Топологія Зариського

Тополо́гія Зари́ського в алгебричній геометрії — спеціальна топологія, що відображає алгебричну природу алгебричних многовидів. Названа на честь Оскара Зариського.

Топологія Зариського в класичній алгебричній геометрії

Афінний простір

В класичній алгебричній геометрії топологія Зариського — топологія в афінному просторі $k^n$ над алгебрично замкнутим полем $k$, замкнутими множинами якої є алгебричні множини, тобто множини виду:

$V(S)=\{x\in {𝔸}^n\mid f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in S\}$

де S — множина многочленів з n змінними над полем k.

Проективний простір

n-вимірний проективний простір ${\mathbb{P}}^n$ визначається як множина ${𝔸}^{n+1}$ де точки, що відрізняються множенням на елементи з k ідентифікуються. Якщо S — множина однорідних многочленів, то замкнутими множинами топології Зариського є множини виду:

$V(S)=\{x\in {\mathbb{P}}^n\mid f(x)=0,\mathrm{\forall }f\in S\}.$

Топологія Зариського для спектра кілець

Нехай $A$ — комутативне кільце, і $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A$ — спектр цього кільця, тобто множина простих ідеалів $A$. Тоді топологією Зариського називається топологія замкнутими множинами якої є:

$\{𝔭\in \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A\mid 𝔭\supseteq I\}$

для ідеалів $I\subseteq A$.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

• Шаблон:Атья.Макдональд.Введение в коммутативную алгебру
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.