Теорема Рауса — Гурвіца

Теорема Рауса — Гурвіца — це критерій належності всіх коренів многочлена до лівої половини комплексної площини. Многочлени з такою властивістю називаються стабільними за Гурвіцем.

Це теорема важлива для динамічних систем в теорії керування, оскільки характеристичний многочлен стабільної лінійної системи диференціальних рівнянь має корені тільки в лівій півплощині (від'ємні власні значення).

Це теорема надає математичний тест стабільності системи, без знаходження розв'язків. Вона була доведена 1895 року і названа на честь Едварда Рауса та Адольфа Гурвіца.

Позначення

Нехай $f(z)$ многочлен з комплексними коефіцієнтами степеня $n$ без коренів на уявній осі (тобто з нулевою дійсною частиною). А два дійсні многочлени $P_0(y)$ та $P_1(y)$, такі що $f(iy)=P_0(y)+i{P}_1(y)$, є дійсною та комплексною частиною $f$ на уявній осі.

Також позначимо:

• $p$ кількість коренів $f$ в лівій півплощині (з урахуванням кратності);
• $q$ кількість коренів $f$ в правій півплощині (з урахуванням кратності);
• Шаблон:Math зміну аргумента Шаблон:Math коли $y$ змінюється від Шаблон:Math до Шаблон:Math;
• $w(x)$ кількість змін узагальненого ланцюга Штурма отриманого з $P_0(y)$ та P_1(y) застосуванням алгоритму Евкліда;
• $I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}r$ — індекс Коші раціональної функції $r$ вздовж дійсної осі.

Твердження

Використовуючи ці позначення, теорема стверджує:

$p-q=\frac{1}{\pi }\mathrm{\Delta }\arg f(iy)=\{\begin{array}{cc}+I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{P_0(y)}{P_1(y)}& \text{для непарного степеня}\\ -I_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}& \text{для парного степеня}\end{array}\}=w(+\mathrm{\infty })-w(-\mathrm{\infty }).$

З першої рівності, наприклад, можна стверджувати, що коли зміна аргумента $f(iy)$ додатна, то $f(z)$ матиме більше коренів зліва від уявної осі ніж справа.

Рівність Шаблон:Math є комплексним аналогом теореми Штурма. З тою різницею що: в теоремі Штурма зліва Шаблон:Math та Шаблон:Math — кількість змін в ланцюгу Штурма (коли в цій теоремі, Шаблон:Math — кількість змін в узагальненому ланцюгу Штурма).

Критерій стабільності Рауса — Гурвіца

Використовуючи цю теорему, критерій стабільності є тривіальним: $f(z)$ є стабільною за Гурвіцем тоді й лише тоді коли $p-q=n$. Умовою на коефіцієнти $f(z)$ буде Шаблон:Math та Шаблон:Math.

Див. також

• Критерій стійкості Гурвіца
• Критерій стійкості Рауса

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць