Критерій стійкості Гурвіца

Критерій стійкості Гурвіца — один із способів аналізу лінійної стаціонарної динамічної системи на стійкість, розроблений німецьким математиком Адольфом Гурвіцем. Поряд з критерієм Рауса є представником сімейства алгебраїчних критеріїв стійкості, на відміну від частотних критеріїв, таких як критерій стійкості Найквіста. Перевагою методу є принципова простота, недоліком - необхідність виконання операції обчислення визначника, яка пов'язана з певними обчислювальними тонкощами (наприклад, для великих матриць може виявитися чималою обчислювальна помилка).

Формулювання

Шаблон:Main Шаблон:See also Метод працює з коефіцієнтами характеристичного рівняння системи. Нехай $W(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$ — передатна функція системи, а $U(s)=0$ — характеристичне рівняння системи. Представимо характеристичний поліном $U(s)$ у вигляді

$U(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+...+a_n$

Із коефіцієнтів характеристичного рівняння будується визначник Гурвіца $n$ по алгоритму:

1) по головній діагоналі зліва направо виставляються всі коефіцієнти характеристичного рівняння від $a_1$ до $a_n$;

2) від кожного елемента діагоналі вгору і вниз добудовуються стовпці визначника так, щоб індекси зменшувалися згори донизу;

3) на місце коефіцієнтів з індексами менше нуля або більше $n$ ставляться нулі.

відповідно до критерію Гурвіца: Шаблон:Початок цитати Для того, щоб динамічна система була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі $n$ діагональних мінорів визначника Гурвіца були додатні. Ці мінори називаються визначниками Гурвіца. Шаблон:Кінець цитати

Аналізуючи умову критерію Гурвіца, можна помітити її надмірність. Число нерівностей можна зменшити в два рази, використовуючи теорему Льєнара-Шіпара. Втім, в обчислювальному відношенні складність критерію зменшується не суттєво, тому що при обчисленні мінору високого порядку частіше за все необхідно обчислення мінорів нижчих порядків.

Див. також

• Стійкість систем автоматичного регулювання
• Критерій стійкості Михайлова
• Критерій стійкості Найквіста
• Критерій абсолютної стійкості В.М.Попова
• Критерій стійкості Рауса
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Іванов А. О. Теорія автоматичного керування: Підручник. — Дніпропетровськ: Національний гірничий університет. — 2003. — 250 с.
• Енциклопедія кібернетики. тт. 1, 2. — К.: Головна редакція УРЕ, 1973. — 584 с.
• Шаблон:ОАГВ